整数の問題の解答解説お願いします。 X^(n+1)をX^2-X-1で割った余りをAnX+Bnとおく(n=1、2、3…) このときAn、Bnは整数であり、互いに素であることを示せ。

補足

fermatprime65537さん回答ありがとうございます。なるほどそういう手順で解いていくわけですね。さらに質問よいでしょうか。 X^(n+2)をX(X^2-X-1)の3次で割るのだから、余りは2次以下になりますよね。どうしてA[n]X^2+B[n]Xをさらに割って1次にしてしまうことが可能なのでしょうか。 質問ばかり申し訳ないです。回答いただけると嬉しいです。

数学2,152閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">25

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X^(n+1)=(X-2)(X+1)+AnX+Bn 2^(n+1)=2An+Bn (-1)^(n+1)=-An+Bn 2(-1)^(n+1)=-2An+2Bn An=(2^(n+1)-(-1)^(n+1))/3 Bn=(2^(n+1)+2(-1)^(n+1))/3