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数学で99%の人が間違えてしまうという問題。

tb1********さん

2013/9/2218:35:22

数学で99%の人が間違えてしまうという問題。

0の0乗はいくつ?

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ベストアンサーに選ばれた回答

kio********さん

2013/9/2218:37:47

?定義できないのでは?

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sch********さん

編集あり2013/9/2911:12:18

y=x^x
とします。

x→0を考えますが、正の方向から0に近づけた場合は、1に収束しますが、負の方向から近づけた場合は複素数になってしまいます。
例えば、
(-0.1)^(-0.1)=1.19731... -0.389029... i
ですから、定義できません。

(-1/10)^(-1/10)=a
とすると、
(-1/10)log(-1/10)=loga
log(-1/10)=-10loga
log(-1)-log10=-10loga
-log(e^iπ)+log10=10loga
(-iπ+log10)/10=loga
a=e^{(-iπ+log10)/10}
=e^(-iπ/10)・e^((1/10)log10)
=10^(1/10){cos(π/10)-isin(π/10)}
=1.1973092164164023085864524920... -
0.38902934689487653838771775967... i
です。
複素数には、大小関係がないので、定義できません。

と考えたのですが、
よくみると
t→+∞で
t^(1/t){cos(π/t)-isin(π/t)}
という形になっていますね。
この値は1に収束するようです。

しかし、x^xではなくて
x^yとして、
x→-0、y→+0
x→+0、y→-0
も考える必要があるようです。

そうなると
z=x^y
という3Dグラフで
x=0、y=0付近の値を吟味すればいいことがわかります。

z=x^y
でxを固定して、y→0にすると
z=1になります。
yを固定して
xを正の方向から0に近づける(x→+0)とz=0
になります。

xを負の方向から0に近づけると
負の数の指数関数の値になるので、zは一般には多価関数となり、複素数になります。

以上のような議論をすると、
z=x^y
lim[x→0,y→0]
の結果は、不定となるので
結論は、0の0乗も不定だと思います。

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wan********さん

2013/9/2500:17:21

答えなどないのに、誰をベストアンサーにするつもり?

つか、質問の表現を読むと、あなたはこたえを知っている体だけど。

par********さん

編集あり2013/9/2312:40:37

0^0=0^4÷0^4=0÷0=∞ じゃない?

lin********さん

2013/9/2221:29:23

答えは分野によって異なり0と1がありうるが,通常は定義しない。

だから答えた場合には100%間違える。

1+1はいくら?、と似てるかも。

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fri********さん

編集あり2013/9/2219:42:02

0^0(0の0乗)は数学的には定義されないというのが一般的です。
しかし、便宜的に0^0=1と定義することもしばしば行なわれます。

x≠0であるとき、
0^x=0
x^0=1
となりますが、
0^xが実用上の意味をほとんど持たないのに対して、
x^0が実用上有用となる場合は様々なものがあります。

代表的なのは指数関数の定義です。
e^x=Σ{n=0→∞}(x^n/n!)
この式は0^0=1であることが前提になっています。

そのような訳で、
プログラム言語でも0^0=1とする場合が少なくありません。

いずれにしても0^0の取り扱いは統一されていないので、
扱う場合にはきちんと定義を確認してください。

ちなみに、
エクセルでは表の中の数式では0^0はエラーですが、
マクロでは0^0=1となっています。

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