ここから本文です

数学 中学 整数 最小公倍数 最小公約数 2けたの整数が2つあって、その最大公...

nk_lavcn!さん

2013/9/2303:20:06

数学 中学 整数 最小公倍数 最小公約数

2けたの整数が2つあって、その最大公約数が2~2 × 3、最小公倍数が、2~4 × 3 × 5 である。
2つの整数を求めよ。

((解説)) 2~4 × 3 × 5 = (2~2 × 3) 2~2×5から、
また、2けたの2数より、 (2~2×3)×2~2 、 (2~2×3)×5
よって、48と60

ゆってる意味がわかりません(´;ω;`)

解説お願いします

閲覧数:
549
回答数:
4
お礼:
50枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

mas********さん

2013/9/2305:25:22

最小公倍数は最大公約数の倍数になります。
また、元の数2つは最大公約数の倍数になります。
これらを利用しているだけです。

質問にある模範解答の解説です。

最大公約数が2^2×3、最小公倍数が2^4×3×5
とわかっているので、まず最大公約数にいくつの数をかけたものが最小公倍数になっているかを調べています。
その式が、
2^4×3×5=2^2×2^2×3×5
=(2^2×3)×2^2×5・・・①
となり、解説の式になります。
これは、最大公約数(2^2×3)に2^2×5を掛けたものが最小公倍数になることを示しています。
(この時点で、5は素数で分解できず、2^2と被るはないので元の数は模範解答の数になるのがわかります。ここで理解できれば以下はスルーでしてください)


これより、元の2つの数も最大公約数の倍数なので、①の式から3組の数が浮かびます。
1つの組は(2^2×3)×2^2×5を(2^2×3)×2×2×5として
(2^2×3)×2
(2^2×3)×2×5
とできます。
ただし、この数は2つの数において2が重なりますので、最大公約数が(2^2×3)×2になってしまいます。
また、最小公倍数も2^4×3×5とならずに2^3×3×5となり、この数の組み合わせではないことがわかります。
よってこの組み合わせは省けます。

2つ目の組は
(2^2×3)
(2^2×3)×2^2×5
が考えられますが、問題において2ケタの数といっているので、(2^2×3)×2^2×5=240となり3ケタの数であるので、この組み合わせも省くことができます。
(↑の説明した部分は模範解答では省かれています)

最後の一つの組み合わせが模範解答にある組み合わせで、
(2^2×3)×2^2
(2^2×3)×5
です。
こちらは、最大公約数の(2^2×3)以外は被っている数はなく、2つの数も2ケタとなるので、この数が元の2つの数になることがわかります。

よって、この式を計算して模範解答の48と60が導き出されたというわけです。

この回答は投票によってベストアンサーに選ばれました!

ベストアンサー以外の回答

1〜3件/3件中

並び替え:回答日時の
新しい順
|古い順

nxs********さん

編集あり2013/9/2304:14:56

最大公約数が2^2 × 3=2・2・3=12

最小公倍数が、2^4 × 3 × 5=2・2・2・2・3・5=240

このどちらも、ある2ケタの整数AとBとおくとき、
A=最小公約数×a
B=最小公約数×b
のとき、a×b×最小公約数=最大公倍数・・・①

ここで、A=12a、B=12b
a・b・12=240
となるので、a・b=20

かけて20になるのはいくつかあります。
(1,20)(2,10)(4,5)
A=12a、B=12bがそれぞれ2ケタになるためには、20や10をかけると3ケタなので、5と4となります。
つまり、12・5=60と、12・4=48となります。


①の仕組みについて。
2つの数XとYがあり、X=a×b、Y=a×cで、bとcが「互いに素(たがいにそ=1以外に共通の約数をもたない)」であるとき、
最大公約数はa、最小公倍数はa×b×c=最大公約数×b・cです。
2つの整数のXとYのどちらにもある「割り切れる数a」が最大のとき、最大公約数、
XとYを掛け合わせてできる最小の倍数、つまり、最大公約数と素数b・cを掛け合わせてできたものを最小公倍数
というのです。

つまり今回は、
最大公約数が12=2・2・3
最小公倍数が、240=2・2・2・2・3・5
なので、AとBどちらにもあるのは、12×なんとかとなるということがわかります。
そして、最大公倍数=最大公約数×2・2・5
2・2・5は、2つの整数を構成するものになります。
2ケタという条件がなければ、A=12×2でもいいし、A=12×2・5でもいいのです。
今回は、2・2・5=20として、かけて20となる2つの数字から、12にかけて2ケタとなるものを探しました。

tor********さん

2013/9/2304:02:19

解答の解説
①2~4 × 3 × 5 = (2~2 × 3) 2~2×5

(最小公倍数)=(最大公約数)×2^2×5

②2けたの2数より、 (2~2×3)×2~2 、 (2~2×3)×5

2つの整数は
A×(最大公約数)、B×(最大公約数)と表現できる
そして、最小公倍数は…
(最小公倍数)=A×B× (最大公約数)
となることが知られている
また、A,Bはこのとき、公約数を1以外に持たない
(そうでないと最大公約数が変わってしまう)

なので…この問題でのA,Bの組み合わせは…
(A,B)=(1,20),(4,5)
(2つの数の組が分かればいいので、A,Bを入れ替えると同じになる組み合わせは入れていない)

ここで、(A,B)=(1,20)の場合を考えると、
B×(最大公約数)=240
と、3桁になってしまい、問題の「2桁の整数」を満たさないのでNG

よってA,Bの組は4,5に決まり、求める2つの2桁の整数は…
A×(最大公約数)、B×(最大公約数)
→48、60

kidotakaさん

2013/9/2303:47:57

解説が飛躍しすぎていて、確かに分からないですねw


2桁の整数AおよびBとします。
A=最大公約数 * a
B=最大公約数 * b
最小公倍数=最大公約数 * a * b
ここから導出されるのはa*bの値です。
a * b = 最小公倍数/最大公約数 = 2^2 * 5

最小公約数は2^2 * 3で、12ですので、
AおよびBが2桁の整数であることを考えると、
aとbは8以下の整数であることが分かります。(9を越えると3桁になりますから)

a*bを2^2および5に分解する場合が正解。
2および2*5に分解した場合、3桁になるパターンで不正解になります。
最小公約数に2をかけた24
最小公約数に2*5をかけた120 <= 3桁


最小公約数に2^2をかけた48
最小公約数に5をかけた60

こんな感じです。

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる