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数学Aの確率の問題です。(センター試験レベルです。)

happyhoppy_kさん

2013/10/2601:07:19

数学Aの確率の問題です。(センター試験レベルです。)

野球の日本シリーズについて、確率も用いて勝率を考えてみます。

A,Bという2つのチームが試合を行います。
そのうち先に4試合勝った方を優勝とします。

1試合目と2試合目は
AがBに勝つ確率は2/3です。

3試合目と4試合目と5試合目は
AがBに勝つ確率は1/3です。

6試合目と7試合目は
AがBに勝つ確率は2/3です。

問題)
(1)
7試合まで試合が行われる確率はいくつか?

(2)
Aチームが優勝する確率はいくつか?

(3)
行われる試合数の期待値はいくつか?

以上3つの質問の答えを教えてください。

私は数学1Aの知識はあるのですが、
どのように考えればいいのかわかりません。
3つすべてにお答えできなくても
かまいませんので、教えてください(><)

補足ご丁寧な回答ありがとうございます。
考え方は理解できましたが、どういった計算なのかも教えてください。
私の質問内容に不備があったのは申し訳ございません。

回答を教えてください。
考え方の下の欄に、補足として回答(途中式など)を載せてください。よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

mas********さん

編集あり2013/10/2702:34:04

「どのように考えればいいのか」という事ですので、考え方のみ回答します。
引き分けは無いものとします。

(1)
7試合目まで試合が行われるには
6試合目で3勝3敗になる場合
になります。

6試合目で3勝3敗になる確率は
Aが1~2、6試合目で3勝する場合の確率・・・①
Aが1~2、6試合目で2勝し、3~5試合目で1勝する場合の確率・・・②
Aが1~2、6試合目で1勝し、3~5試合目で2勝する場合の確率・・・③
Aが3~5試合目で3勝する場合の確率・・・④
の4通りの確率を求めて、それら全てを足すことで求められます。
(①+②+③+④=6試合目で3勝3敗になる確率=7試合目まで試合が行われる確率)
↑は1~2、6試合目の勝つ確率と3~5の勝つ確率が違うので、それに合わせて場合わけしています。

負ける確率は1-勝つ確率で求められますので、
Aが1~2、6試合目で負ける確率:1-2/3
Aが3~5試合目で負ける確率:1-1/3
となります。
Aが1~2、6試合目で3勝する場合の確率を求める式は
3C3×(2/3)^3×(1-1/3)^2
(3C3は1~2、6試合で3勝する勝ち方の数(1通り)、2/3は1~2,6試合目の勝つ確率、(1-1/3)は3~5試合目の負ける確率)
となります。
他の場合も同じように確率を求めます。


上記の確率の求め方になる説明
Aが4勝3敗で勝つ場合
Bが4勝3敗で勝つ場合
を足したものが、7試合目まで行われる確立です。

Aが4勝3敗で勝つ確率
Aが3勝3敗になる確率×2/3

Bが4勝3敗で勝つ確率
Bが3勝3敗で勝つ確率×1/3

7試合目まで試合が行われる確率は
Aが3勝3敗になる確率×2/3+Bが3勝3敗で勝つ確率×1/3
Aが3勝3敗になる確率=Bが3勝3敗で勝つ確率になるので、

Aが3勝3敗になる確率×2/3+Aが3勝3敗で勝つ確率×1/3
=(2/3+1/3)×Aが3勝3敗で勝つ確率
=Aが3勝3敗で勝つ確率
となります。


(2)
Aが優勝するには
Aが1~4試合で4勝する場合・・・①
Aが1~4試合で3勝し、5試合目に勝つ場合・・・②
Aが1~5試合で3勝し、6試合目に勝つ場合・・・③
Aが1~6試合で3勝し、7試合目に勝つ場合・・・④
に分けられます。

また、②については
1~2試合目で2勝して3~5試合で1勝し5試合目に勝つ場合
1~2試合目で1勝して3~5試合で3勝する場合
でさらに分けて確率を求めます。

③についても同様に
1~2試合目で2勝して3~5試合で1勝し6試合目に勝つ場合
1~2試合目で1勝して3~5試合で2勝し6試合目に勝つ場合
1~2試合目は負けて、3~5試合目で3勝し6試合目に勝つ場合
に分けて確率を求めます。
④は(1)の答えを利用して7試合目で4勝する確率をもとめます。

①~④の確率を足した値がAが優勝する確率になります。


(3)
試合数が4試合の確率
試合数が5試合の確率
試合数が6試合の確率
試合数が7試合の確率
を求めて期待値を求めます。
1~3試合目までは勝利が決まらないので期待値は0となります。


補足より。
途中式と答えを以下に示します。
計算間違いや勘違いによる数値の置き間違い等あるかもしれませんので、確認はしてください。
文字数制限でかなり省略しています。


(1)

3C3×(2/3)^3×(1-1/3)^3
=64/729


3C2×3C1×(2/3)^2×(1/3)×(1-2/3)×(1-1/3)^2
=144/729


3C1×3C2×2/3×(1/3)^2×(1-2/3)^2×(1-1/3)
=36/729


3C3×(1/3)^3×(1-2/3)^3
=1/729

7試合目まで試合が行われる確立
64/729+144/729+36/729+1/729
=245/729


(2)
①.Aが1~4試合で4勝する確率
2C2×2C2×(2/3)^2×(1/3)^2
=4/81


2C2×2C1×(2/3)^2×1/3×(1-1/3)×1/3
=16/243
2C1×3C3×2/3×(1/3)^3×(1-2/3)
=4/243
よって1~4試合で3勝し、5試合目に勝つ確率は
16/243+4/243=20/243


2C2×3C1×(2/3)^2×1/3×(1-1/3)^2×2/3
=96/729
2C1×3C2×2/3×(1/3)^2×(1-2/3)×(1-1/3)×2/3
=48/729
3C3×(1/3)^3×(1-2/3)^2×2/3
=2/729
よってAが1~5試合で3勝し、6試合目に勝つ場合の確率は
96/729+48/729+2/729
=146/729

④.Aが1~6試合で3勝し、7試合目に勝つ場合の確率
245/729×2/3=490/2187

Aが優勝する確率は
4/81+20/243+146/729+490/2187
=1216/2187


(3)
①.試合数が4試合の場合の確率
Aが4勝0敗の確率
4/81

Bが4勝0敗の確率
(1-2/3)^2×(1-2/3)^2=4/81
よって
4/81+4/81=8/81

②.試合数が5試合の場合の確率
Aが4勝1敗の確率
20/243

Bが4勝1敗の確率
Bが1~2試合目に2勝、3~4試合目に1勝して5試合目に勝つ
2C2×2C1×(1-2/3)^2×(1-1/3)×1/3×(1-1/3)
=8/243
Bが1~2試合目に1勝、3~5試合目に3勝して勝つ
2C1×3C3×(1-2/3)×(1-1/3)^3×2/3
=32/243
Bが4勝1敗の確率は
8/243+32/243=40/243

よって
20/243+40/243=60/243

③.試合数が6試合の場合の確率
Aが4勝2敗の確率
146/729

Bが4勝2敗の確率
1~2試合で2勝、3~5試合で1勝し6試合目に勝つ
2C2×3C1×(1-2/3)^2×(1-1/3)×(1/3)^2×(1-2/3)
=6/729
1~2試合で1勝、3~5試合で2勝し6試合目に勝つ
2C1×3C2×(1-2/3)×(1-1/3)^2×2/3×1/3×(1-2/3)
=48/729
3~5試合目で3勝し6試合目に勝つ
3C3×(1-1/3)^3×(2/3)^2×(1-2/3)
=32/729
Bが4勝2敗の確率は
6/729+48/729+32/729
=86/729

よって
146/729+86/729
=232/729

④.試合数が7試合の場合の確率
245/729

①~④より行われる試合数の期待値は
4×8/81+5×60/243+6×232/729+7×245/729
=4295/729

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