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確率についての質問です。

nyankorohoiさん

2013/11/1209:16:12

確率についての質問です。

あるマークシートの資格試験が設問100問でそれぞれ1点の100点満点、4択問題、合格ラインが60点の場合、全部勘で解いて合格できる確率を求める式を教えてください。

数学は全くできないので「思考の階段」をすっ飛ばさないように、ああ、私は今バカに教えてるんだ・・という自覚をもってわかりやすく数式過程を説明していただくと誠に幸いです笑。

よろしくお願いします。

この質問は、活躍中のチエリアン・専門家に回答をリクエストしました。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2013/11/1300:47:37

100点をとる確率は、1/4の100乗、99点を取る確率は、1/4の99乗×3/4x100
98点を取る確率は、1/4の98乗×3/4の2乗x100c2
・・・と60点までやって、最後に100点から60点までの確率を全部足す。
x点とる確率は、x個正解を出したのだから1/4をx乗、さらに100-x個不正解を出したのだから3/4を100-x乗、さらに
x個の正解の問題がどこにあったかの組み合わせがあるので、100cX(100c(100-x)でも同じ)、
これらを乗じる。


なお、実際に求める必要がある場合は
そんなことやってたら死んでしまうので、こういう場合は近似という方法があります。
多くの人がその試験を受けて、全員が勘で答える場合に、その点数の分布はどんな風になるのかなということ。
大多数が25点付近に集まりますが、そのばらつきはどんなかなということが分かればいいという考え方。

ここから先は理由がどうというより、こういう定理が使えますという話。
今回のような場合は、その試験を受けた人たちの分布は、正規分布に近似するという手法が使えます。
(ちょっと抽象的にいうと二項分布が一定の場合正規分布に近似すると言います。)
この近似において、当該正規分布は、
平均値=N*p (Nは個数、pは確率)
シグマの2乗=N*p*(1-p) (細かい話は抜きとしてシグマとはばらつきを表す数値)
となります。
そして、平均値から3xシグマ離れたところまでに99%の人が入っています。

今回の例では、平均値=100x1/4=25 シグマの2乗=100x1/4x3/4=18.75 だからシグマ=4.3くらい。
すると、シグマ×3=13くらい。
25+13=38 となり、
99%の人が38点以下ということになります。
逆に言うと、38点を超えるのは(甘く見ても)1%の確率ということになります。

60点までいくとなると、8xシグマくらい離れている訳で、分布表を見てないけど大甘の大甘で100万分の1くらいかなと思います。

ちなみに100点をとる確率は、1/4の100乗だから、2の−200乗。これって小数点以下0が6、70個つく数値です。

質問した人からのコメント

2013/11/16 11:34:40

大変興味深く読ませていただきました。スッキリしました!

ベストアンサー以外の回答

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ymst_rintaさん

編集あり2013/11/1223:51:32

100問の試験で、独立に1/4の確率で1点得点するときの合計点は二項分布B(100,1/4)に従うので、エクセルで59点以下となる確率を計算して1から引くと良い。
=1-BINOM.DIST(59,100,1/4,TRUE)

計算のような仕事に人間の時間をかけるべきではなく、そんなものは計算機にやらせれば良いです。人間は式だけ考えればいいです。

「思考の階段」はすっ飛ばしました。それには、「ベルヌーイ試行」、「二項分布」の説明が必要だからです。というか、それが理解できればあとはエクセルの関数を調べるだけです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8C%E3%83%BC%E...
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%83

各問題について選択肢を選ぶというのが成功確率1/4のベルヌーイ試行になっていて、100回の独立な試行を実施しています。

[追記]
もしも、パソコンがない場合に見積もりたい、というケースを考えていなかったので、それを追加しておきます。

以下の「思考の階段」は飛ばします。
正規分布とは何か。正規分布に従う確率変数を標準化することで標準正規分布に従うように変換することができる。二項分布はnがある程度の大きさであれば正規分布で近似できる (ドモアブル-ラプラスの定理)。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83

二項分布B(n, p) は正規分布N(np, np(1-p)) で近似できるので、B(100,1/4) はN(25, 75/4) で近似できる。
分散75/4の平方根が標準偏差で、その値は(5/2)*√3。
N(μ, σ^2) に従うXを標準化する式はZ = (X - μ) / σ なので、合格ラインである60点を標準化すると
(60 - 25) / {(5/2)*√3} = 14/√3 = 8.0829
これは8σを超えているということで、それより大きな値 (=合格) となるのはとてつもなく小さな確率ということになります。
8σ超は普通の分布表では出ていない (確率がほとんど0なので) ので、やはりエクセルなどを頼るしかないです。

と思って試してみたら、エクセルが確率0という値を返してきたので、フリーソフトRで同じ計算をさせてみました。
> 1-pnorm(8.0829)
[1] 3.330669e-16
ついでに、二項分布での結果も。
> 1-pbinom(59,100,1/4)
[1] 1.326717e-13
正規分布で計算した場合は確率が二項分布で計算したときの1/400になっていたが、いずれにせよ10の-13乗とか-16乗とかの世界なので、0とみなしても差し支えない程度と言えます。

2013/11/1209:22:52

1問あたりの正解の確率が1/4で60問正解すればいいので(1/4)^60でいいとおもいます。残りの40問はあっていようが間違っていようが合格します。

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