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f(z)=u+ivとする f(0)=0 u(x、y)=x^4−6x^2y^2+y^4+x^3−3xy^2 コーシーリー...

girigirieyeさん

2013/12/400:07:06

f(z)=u+ivとする
f(0)=0
u(x、y)=x^4−6x^2y^2+y^4+x^3−3xy^2
コーシーリーマンの関係からどうすればいいかわかりません
(多分微分方程式を解くんだと思いますが・・・)

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kaz********さん

2013/12/505:00:43

コーシーリーマンの関係式より,
∂u/∂x = ∂v/∂y,
∂u/∂y = - ∂v/∂x.

すなわち,
∂v/∂y = 4x^3 - 12xy^2 + 3x^2 - 3y^2,
∂v/∂x = 12x^2y - 4y^3 + 6xy.

よって,
v(x, y) = 4x^3y - 4xy^3 + 3x^2y - y^3.
(f(0) = 0 より, u(0, 0) = 0)

以上により、
f(z) = u(x, y) + i v(x, y)
= (x^4 + 4x^3yi - 6x^2y^2 - 4xy^3i + y^4)
+ (x^3 + 3x^2yi - 3xy^2 - y^3i)
= (x+iy)^4 + (x+iy)^3
= z^4 + z^3
となる.

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