高2です。関数y=x^3(x-4)のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。という問題がわかりません。詳しい解説お願いします

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別解までつけてくれてありがとうございます

お礼日時:2013/12/27 19:23

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y=x^3(x-4) …(ア) . y=mx+n …(イ)とおきます。 . (ア)-(イ)より、 . x^3(x-4)-(mx+n)=0 …(ウ) 曲線(ア)と直線(イ)の接点の座標を、x=α,βとすると、 . 方程式(ウ)の2つの重解になりますね。(^^♪ . x^3(x-4)-(mx+n)=(x-α)^2(x-β)^2と因数分解出来ます。 . x^4-4x^3-mx-n . ..=x^4-2(α+β)^3+(α^2+β^2+4αβ)x^2-2αβ(α+β)x+α^2β^2 . よって、 . 4=2(α+β) …(エ) . 0=α^2+β^2+4αβ …(オ) . m=2αβ(α+β) …(カ) . -n=α^2β^2 …(キ) . (エ)より、 . α+β=2 . (オ)より、 . (α+β)^2+2αβ=0 . 2^2+2αβ=0 . αβ=-2 . (カ)より、 . m=-8 . (キ)より、 . n=-4