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logとlimとの交換

mat********さん

2014/1/2522:41:34

logとlimとの交換

極限の問題で,『対数関数の連続性から』logとlimとの順序を入れ替えている解答があったのですが入れ替えていい理由を詳しく教えてください.

補足jansdfjnadifeさん。ご回答ありがとうございます。

興味があるので,高校生に解釈できるようにかみ砕いて教えてもらえないでしょうか?

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rel********さん

編集あり2014/1/2723:54:01

x=c でf(x)が連続の定義は
lim[x→c]f(x) = f(c) です
任意のxについて連続のとき単にf(x)は連続と書きます。
これは高校でも習います。

logは連続なので x→cでy→Cなら
lim[x→c]log(y)
= lim[y→C]log(y)
= logC (連続性)
= log(lim[y→C]y)
となり入れ替え可能です。

このように連続を定義すると次はlogが連続なことに証明が必要な気がしてきます。この証明は高校では習いませんが高校レベルで証明可能です。
(logが連続の証明)
lim[y→x](logy - logx) = 0 を示せば極限は分けることができるので移項すれば連続の証明になります。
絶対値をつけて0に収束するなら絶対値の中もゼロになるので絶対値をつける。(証明を短くするため)
h=y-x とすると
lim[y→x]|logy - logx|
= lim[h→0]|log(x+h) - logx|
= lim[h→0]|log(1+h/x)|
0≦|log(1+h/x)|≦|2h/x| (|h|が十分小さいとき) (指数関数に代入してから微分などで大小関係は証明できるが省略)
lim[h→0]|2h/x| = 0 だからはさみうちの原理より
lim[h→0]|log(1+h/x)| = 0

この程度のことに大学の数学がどうこうは見当違いです。大学の数学は極限を厳密に定義し繊細な問題を正しく解くことができますがこのレベルなら高校の数学でも十分厳密に解くことができます。
現代的な形式主義の厳密さではないですが十分な厳密さです。というか十分厳密という言葉で私はそのことを暗示しているのですが。
実際、微積分学が始まってから直感的な取り扱いのまま2世紀経つまで形式的な厳密化はなされていません。その間数学は十分な発展をし、大きな誤りは導いていません。
さらに言いますと極限の近づきかたによらないというのは高校レベルでも意識されていることでしょう。

もっと詳しくやってみたいなら
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/030ksk.html
このページとかがわかりやすいです。本気でやりたいなら理系インデックスとかがおすすめです。

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aer********さん

編集あり2014/1/2615:20:14

「log(x)が連続関数であること」と「logとlimとの順序を入れ替えていいこと」がほぼ同じことを意味するのは既に指摘されて通り連続の定義自体であり、そこはそれ以上詳しく説明しようがない。

理解ある質問者ならそこではなく、次のような質問を追加したことだろう:
「じゃあ対数関数が連続関数である理由は何でしょう?」

それを説明するのは簡単ではないが次の資料はきっと役に立つだろう:
http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga.yuzuru.gf/kiso2/ulis/docs/con...

-----------------------------------------
ちなみに私が認識している(そしてより主流だと思う)流派はjansdfjnadifeさんの記載とは多少違っており
f(x)がx=aにおいて連続であることの定義はlim[x→a] f(x)=f(a) として
lim[x→a] f(x)=α の定義はよくあるイプシロンデルタ論法によるものとして
「lim[x→a] f(x)=α ⇔ aに収束するどんな数列{a[n]}に対してもf(a[n])がαに収束する」は定理と扱うものです・・・★

==========================
> lim[x→c]log(y)
> = lim[y→C]log(y)

慎重な読者はこの2行に疑いを持つだろう。
より正しく書くなら [yではなくf(x)を使った方が読みやすいと思う]
lim[x→c] f(x) = C が判明していたとして
lim[x→c] log(f(x)) = lim[y→C] log(y) を主張しているわけだが
この主張が成り立つことの理由は何だろう?
自明だろうか?

(そこを厳密に根拠づけたいなら★をつけた定理の出番だと思っています)

# 普段は気にしなくて良いことだと思いますが
[このレベルなら高校の数学でも十分厳密に解くことができます。]
と書いてあったからつい突っ込んでしまっただけです

追記:同じことを考えてる人がいた:
http://www.le.chiba-u.ac.jp/~aoyama/doc/1106limit-composite-f.pdf

jan********さん

編集あり2014/1/2523:35:52

実は、入れ替えてよいことが連続性の「定義」と言ってもいいのですが、高校では習いません。
質問者様の過去質問を見る限り高校生だと思いますので、あまり気にする必要はありませんよ。交換するときに必要な「呪文」みたいなものだと思ってもらえれば結構です。

興味がありましたら、大学に入ってから「解析学」などの授業で学んでください。


補足より
大学では、関数f(x)がx=aで連続であることを次のようにして定義することがあります。
「aに収束するようなどんな数列{a[n]}に対してもf(a[n])がf(a)に収束するとき、f(x)がx=aで連続であるという。」
このことは、xがaにどのように近づいたとしてもf(x)がf(a)に近づいていくということを主張していることがわかるでしょうか。これは、我々が普通にイメージする連続性と一致していますね。
しかも、これは連続性の定義が
lim f(a[n])=f(a)=f(lim a[n])
が成り立つことであるということを示しています。
だから連続性があれば、関数と極限は交換できるのです。改めて言い直せば
「xの近づき方に依らず、f(x)がある値に近づくことこそが連続性の定義なのだから、連続性があれば関数と極限が交換できる。」
ということです。

実は連続性の定義は上のもの以外にもいくつかあり、それらが同値であることも、もちろん示すことができます。
ただ、高校生では知識が少なすぎるので、上よりも厳密な話は難しいです。これ以上の話は、質問者様が大学に入ってから学んでみてください。

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