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インテグラル0から1までの dx/(x^3+1) はどうやって計算するんですか??部...

gra********さん

2007/8/1816:32:58

インテグラル0から1までの dx/(x^3+1)
はどうやって計算するんですか??部分分数分解で途中までやると、
(-x+2)/(x^2-x+1)が出てきてつまりました・・・。

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sig********さん

編集あり2007/8/1816:57:14

(x^3 +1) = (x+1)(x^2 -x+1)
1/(x^3 +1) = (1/3) ({1/(x+1)} -{(x-2)/(x^2-x+1)} )


(d/dx) (x^2 -x+1) = 2x-1
より
x-2 = (1/2)(2x-1) - (3/2)
として

{(x-2)/(x^2-x+1)} = (1/2) ( {(2x-1)/(x^2-x+1)} - {3/(x^2-x+1)} )
と分解します。

∫ {(2x-1)/(x^2-x+1)} dx = log|x^2-x+1| +c
なのであとは

∫{1/(x^2-x+1)} dx の計算を考えればできます。

(x^2 -x+1) = {x-(1/2)}^2 +(3/4)
なので、

{(√3)/2}tan(t) = x-(1/2)
となるように t を取ります。tで微分すると

{(√3)/2} {1/cos(t)^2} = dx/dt
(x^2 -x+1) = (3/4) { tan(t)^2 +1}
であることから
∫{1/(x^2-x+1)} dx = ∫ {2(√3)/3} dt = {2(√3)/3}t +c_0
となります。


{(√3)/2}tan(t) = x-(1/2)
tan(t) = {2/√3} {x-(1/2)}
t = arctan( {2/√3} {x-(1/2)} )
で、元の変数xに戻せます。

これで3つの積分
∫{1/(x+1)} dx
∫ {(2x-1)/(x^2-x+1)} dx
∫{1/(x^2-x+1)} dx
が計算でき、

∫_{x=0 to 1} {1/(x^3 +1) } dx = (1/3) log(2) + (1/9)(√3) π
となります。

質問した人からのコメント

2007/8/18 17:41:35

成功 わかりやすかったです!ありがとうございました(^ ^)

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