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zを複素数とするとき以下の各問に答えよ。但しz^2≠-1とする (あ)lzl=1ならばz...

fly********さん

2014/4/1821:34:13

zを複素数とするとき以下の各問に答えよ。但しz^2≠-1とする

(あ)lzl=1ならばz/(1+z^2)は実数になることを示せ

(い)z/(1+z^2)が実数になるための条件を求めよ

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z6j********さん

2014/4/2601:10:23

Z=アルファ beta*iおよびアルファおよびベータは実数として得られます。
zの共役複素数はz*にされます。

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you********さん

2014/4/1916:10:37

zの共役複素数をz*とします。
(あ)
z/(1+z^2)
=zz*/(1+z^2)z*
=|z|/(z*+z|z|)
=1/(z*+z)
z*+zは実数なので、z/(1+z^2)は実数

(い)
「複素数αが実数⇔α=α*」を利用する
「z/(1+z^2)が実数」
⇔z/(1+z^2)={z/(1+z^2)}*
⇔z/(1+z^2)=z*/{1+(z*)^2}
⇔z{1+(z*)^2}=z*(1+z^2)
⇔z+|z|z*=z*+|z|z
⇔(z-z*)-|z|(z-z*)=0
⇔(z-z*)(1-|z|)=0
⇔z=z*または|z|=1
⇔zが実数または|z|=1

hir********さん

2014/4/1914:37:36

z=α+β*i、αとβは実数、とする。


lzl=1だから、α^2+β^2=1 ‥‥①
z/(1+z^2)=(α+β*i)/(1+α^2-β^2+2αβ*i)=①を使うと=(α+β*i)/(2α^2+2αβ*i)=1/(2α)=実数


z/(1+z^2)を実際に計算して、1+α^2-β^2=mとする。
z/(1+z^2)=(α+β*i)/(m+2αβ*i)=
(α+β*i)(m-2αβ*i)/(m+2αβ*i)(m-2αβ*i)=
(αm+2αβ^2)/(m^2+4α^2β^2)+β(m-2α^2)*i/(m^2+4α^2β^2)

これが実数だから、m^2+4α^2β^2≠0から、β(m-2α^2)=0
・β=0の時、zは実数。
・m-2α^2=0の時、1+α^2-β^2-2α^2=0 → α^2+β^2=1 → lzl=1

編集あり2014/4/1823:12:41

ア)|z|=1より z=cosθ+i sinθ と置ける。

このときド・モアブルの定理により

z/(1+z²)=(cosθ+i sinθ)/(1+cos2θ+i sin2θ)

=(cosθ+i sinθ)/(2cos²θ+2i sinθcosθ) ← 2倍角の公式より

=(cosθ+i sinθ)/2cosθ(cosθ+i sinθ)

=1/(2cosθ)=実数

イ)z=r(cosθ+i sinθ )(r>0)と置くと

A=z/(1+z²)=r(cosθ+i sinθ )/ {1+r²(cos2θ+i sin2θ)}

分母・分子に 1+r²cos2θ-i r²sin2θ を掛けて有理化すると

分母=(1+r²cos2θ)²+(r² sin2θ )²=実数

分子=r(cosθ+i sinθ ){(1+r²cos2θ)-i r²sin2θ}

分子の虚部=r{sinθ(1+r²cos2θ)-r²cosθsin2θ}

=r {sinθ(1+r²cos2θ)-2r²cos²θsinθ}

=r sinθ{(1+r²cos2θ)-2r²cos²θ}

=r sinθ{1+r²(2cos²θ-1)-2r²cos²θ}

=r sinθ(1-r²)

A=z/(1+z²)が実数になるためには、分子の虚部=0になればいい。

∴sinθ=0 または 1-r²=0

すなわち求める条件は θ=kπ(k:整数)または r=1

θ=kπ のとき z=r coskπ =± r(実数)

r=1 のとき z= cos θ+i sinθ

【答え】zが実数か、または |z|=1

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