三次方程式 ax＾３＋bx＾２＋cx＋d＝０……①において、なぜa,b,c,dが実数ならば、①において、１つの解がα＋βiならば、共役な複素数α－βiを解に持つといえるのですか？（α,βは実数）教えてください。
三次方程式 ax＾３＋bx＾２＋cx＋d＝０……①において、なぜa,b,c,dが実数ならば、①において、１つの解がα＋βiならば、共役な複素数α－βiを解に持つといえるのですか？（α,βは実数）教えてください。
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ベストアンサー
ID非公開
ID非公開さん
2014/4/23 22:30
三次方程式，共役複素数 . . . 最高次数の a (≠0) で割って x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0 三次方程式だから必ず 1つ は実数解を持つ (x→-∞ で 左辺→-∞，x→+∞ で 右辺→+∞) ので，それを m とすると x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = (x - m) (x - (α+βi)) (x - (γ+δi)) …… (1) (ただし γ, δ とも実数) (1) において，右辺を展開して x^2 の係数を比較すると (b/a) = -(m + α + γ + (β+δ)i ) …… (2) (2) において，左辺は実数 (= b/a) だから右辺も実数 ∴ β = -δ ってな感じにやっていったらいいのでは？ (当方理学部数学科卒でないので，ちゃんとした証明はできないですが．) # あと，α = γ が言えたらいいでしょう． # それ，二次方程式の解の公式で言えませんか？
質問者からのお礼コメント
丁寧に解説してくださりありがとうございました。
お礼日時：2014/4/23 22:38
