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人工衛星が運行するための水平初速度の条件.

yei********さん

2014/6/1522:20:47

人工衛星が運行するための水平初速度の条件.

地上から鉛直にある程度の高度までロケットを打ち上げます.そこから人工衛星を水平に打ち出すのですが,このときの初速度の範囲についてです.条件は円軌道に限らず楕円軌道でも良いとします.そこで上限速度は第2宇宙速度から求められると思います.最低の速度は第1宇宙速度にはならないと思います.それ以下でもギリギリ地球をかわして落下しないためです.そこで,この最低の速度はどういうふうに求めたら良いでしょうか.楕円運動をしている時の地球との最接近距離がゼロより大きければ良いことがひとつの条件だと思います.

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hut********さん

2014/6/1701:35:29

1.鉛直に打ち上げるということは、地球の自転は考えないということですか?

2.たとえ地球の自転を考慮に入れなくても、ロケットをある程度の高度まで打ち上げて、そこから人工衛星を水平に打ち出した場合、高度が高ければ高いほど、水平に打ち出す初速度は小さくなります。

しかし、遠地点での速度v(これは、質問者さんが人工衛星を水平に打ち出す速度と言っている速度です)の人工衛星が、地球に衝突しないため条件は求めることができます。これには、当然地球の大きさと、人工衛星の楕円軌道の大きさ(長半径の大きさ)、そして、その形状(離心率)が関係してきます。
地球の半径をR、地球の質量をM、万有引力定数をGとします。人工衛星の軌道の長半径と離心率を、そそれぞれa、eとします。このとき、人工衛星が地球に衝突しないための条件は、
R<a(1-e) …(1)
となります。これは、楕円軌道の式r=L/(1+e・cos(φ))で、r>Rという条件で求めることができます。ただし、L=a(1-e^2)は楕円軌道の半直弦です。このとき、人工衛星の遠地点での速度vは、
v=√{(1-e)GM/(1+e)a}…(2)
となります。
当然のことながら、aが大きければ大きいほど、(1)の条件は満たされ、(2)よりvはいくらでも小さくすることが出来る訳です。実際、(1)と(2)より、
v>(1/a)・√{GMR/(1+e)}
となりますが、これは衛星の長半径aが長くなるほど、vの値をいくらでもゼロに近づけることが出来ることを意味しています。

根拠となる式ですが、式がだいぶ長くなりますので、「楕円軌道」をキーワードに検索してください。

それから、少し気になったのですが、第一宇宙速度というのは、地表すれすれに衛星として存在するために必要な速さです。地表からの高度が高い軌道を回る衛星の速度は、当然、第一宇宙速度より遅くなります。

yeinst_millさん

質問した人からのコメント

2014/6/17 07:50:39

なるほど,これらの式,覚えておくと便利そうですね.

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

k03********さん

2014/6/1523:38:38

yeinst_millさん

高度h
初速度v

ギリギリ地球
速度V

1.
面積速度
(R+h)v=RV

2.
エネルギ保存
(1/2)mv^2-GMm/(R+h)=(1/2)mV^2-GMm/R

3.
解くと
v^2=2gR^3/{(R+h)(2R+h)}=2gR*{R^2/{(R+h)(2R+h)}}

(第1宇宙速度)^2=2gR
???

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