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ベルヌーイの式の静圧について。

ペス犬さん

2014/6/2704:26:52

ベルヌーイの式の静圧について。

水流体について高さ(位置エネルギー)が同じであり、摩擦損失などの圧力損失を考慮しない場合に

P+ ρV^2/2 = 一定

の式が成り立つと思いますが、第1項の静圧項 と 第2項の動圧項 の和が一定であるとのことから、

「流れにそう各点(←高さは一定での)の静圧の差こそが、流体に動き(流れをおこす力)を与えている」

と言うことができますか?

運動量保存則(力積)と静圧の関係の理解に苦しんでいます。

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ベストアンサーに選ばれた回答

chi********さん

2014/6/2708:45:30

その解釈で良いと思います.もともとベルヌーイの定理は運動方程式を積分して得られるものですし.以下では,その逆をやってみます.

質問文の式
「P+ ρV^2/2 = 一定」__(1)
で,v^2 は速度ベクトル v! を使うと
v^2 = v!・v!. (「・」はベクトルの内積の意)
(1)の勾配をとると(ρ 一定に留意)
∇P + ρ∇(v!・v!)/2 = 0.
ベクトル公式より
∇(v!・v!)/2 = (v!・∇)v! + v!×(∇×v!). (「×」はベクトルの外積の意)
これを使うと上式は
∇P + ρ(v!・∇)v! + ρv!×(∇×v!) = 0.__(2)
第2項は定常流(∂/∂t = 0)におけるラグランジュ微分
d/dt = ∂/∂t + v!・∇ = v!・∇
なので,(2)は
∇P + d(ρv!)/dt + ρv!×(∇×v!) = 0.__(3)

v! との内積をとると,第3項は 0 になり
v!・{∇P + d(ρv!)/dt} = 0.
これは
∇P + d(ρv!)/dt の v! に沿った成分 = 0
を表しています.つまり,各流線に沿って,単位体積当たりの運動量 ρv! の時間的変化の割合は圧力勾配による力 -∇P によってもたらされているということです.

(3)で
∇×v! = 0 (渦なし)
の場合には
∇P + d(ρv!)/dt = 0
であり,流線の方向によらない関係式が得られます.

質問した人からのコメント

2014/6/27 09:06:36

感謝 大変ご丁寧な回答ありがとうございます。
もはや、自分の知能レベルでは理解しかねますが、理解できるように数回読み直してみます!!

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