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n≡1 mod 3, n ≡ 189 mod 4, n ≡ 3 mod 7をみたすような自然数nを求めよ。 とい...

man********さん

2014/7/2704:34:15

n≡1 mod 3, n ≡ 189 mod 4, n ≡ 3 mod 7をみたすような自然数nを求めよ。
という問題なのですが教えていただけませんか。

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wat********さん

2014/7/2706:17:12

n ≡ 1 (mod 3)
n ≡ 189 ≡ 1 (mod 4)
n ≡ 3 (mod 7)

より、 0 以上の整数 p, q, r を用いて、

n = 3p + 1 = 4q + 1 = 7r + 3

と表すことができる。

3p + 1 = 4q + 1
3p = 4q

3 と 4 は互いに素なので、 0 以上の整数 k を用いて、

p = 4k

と置けるから、

n = 3*4k + 1 = 12k + 1

よって、

12k + 1 = 7r + 3
12k - 7r = 2

12*6 - 7*10 = 2 だから、

12(k - 6) - 7(r - 10) = 0
12(k - 6) = 7(r - 10)

12 と 7 は互いに素なので、 0 以上の整数 m を用いて、

k - 6 = 7m
k = 7m + 6

したがって、

n = 12(7m + 6) + 1 = 84m + 73 (m は 0 以上の整数)

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the********さん

2014/7/2708:14:32

189-1=188=4*47よりn≡189≡1 (mod 4)です.

n≡1 (mod 3)より、nは任意の整数sを使って

n=3s+1

と書けます、これが第二式を満たすので

3s+1≡1 (mod 4)

これをsについて解いて

⇔3s≡0 (mod 4)
⇔s≡0 (mod 4)

よって

n
≡3*0+1 (mod 3*4)
≡1 (mod 12)

これは任意の整数tを使って

n=12t+1

と書け、nは第三式を満たすので

12t+1≡3 (mod 7)

これをtについて解いて

⇔12t≡2 (mod 7)
⇔5t≡2 (mod 7)
⇔15t≡6 (mod 7)
⇔t≡-1 (mod 7)

よって

n
≡12*(-1)+1 (mod 12*7)
≡-12+1 (mod 84)
≡-11 (mod 84)
≡73 (mod 84) //

(検算)

73-1=72=3*24
73-189=-116=4*(-29)
73-3=70=7*10

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