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代数学の問題です。急いでます! Ⅰ.ℤを整数環とし、pを素数とする。φ:ℤ⊕2→ℤ⊕2...

agm********さん

2014/7/2803:15:01

代数学の問題です。急いでます!

Ⅰ.ℤを整数環とし、pを素数とする。φ:ℤ⊕2→ℤ⊕2をℤ‐加群の準同型とする。

⑴準同型φは、ベクトル空間の線形写像φ(p):(ℤ/pℤ)⊕2→(ℤ/pℤ)⊕2を誘導することを示せ。
⑵φ(p)が全射であっても、φは全射ではない例をひとつ挙げよ。
⑶φは単射であるが、φ(p)は零射となる例をひとつ挙げよ。
⑷すべての素数pに対してφ(p)が全射であれば、φは全単射であることを示せ。


Ⅱ.複素数体上の二変数多項式環ℂ[x,y]と自然数の組(m,n)に対して、ℝ:=ℂ[x,y]/(x^m-y^n)とおく。
⑴ℝはいつ整域になるか。
⑵ℝはいつ整閉整域になるか。


解ける範囲でいいのでお願いします!

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her********さん

2014/7/2805:35:48

ℤ⊕2はℤ×ℤのことでしょうか?
Φ(p)([x],[y])=([π1Φ(x,y)],[π2φ(x,y)])
と定める
Φ(p)がwell-definedであること
[x]=[x1],[y]=[y1]とすると
x1=x+pm,y1=y+pn
とかける
Φ(p)([x1],[y1])=([π1Φ(x1,y1)],[π2φ(x1,y1)])
=([π1Φ(x+pm,y+pn)],[π2φ(x+pm,y+pm)])
=([π1Φ(x,y)+π1φ(pm,pn)],[π2φ(x,y)+π2φ(pm,pn)])
=([π1Φ(x,y)+pπ1φ(m,n)],[π2φ(x,y)+pπ2φ(m,n)])
=([π1Φ(x,y)],[π2φ(x,y)])
=Φ(p)([x],[y])

(3)
Φ(x,y)=(px,py)

II(1)
gcd(m,n)=1
のとき、たぶん…

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