ここから本文です

漸化式 以下の漸化式 Sn = Sn-1 + 12n(1/9)^n の一般項はどういった式になりま...

reb********さん

2014/8/709:15:20

漸化式
以下の漸化式
Sn = Sn-1 + 12n(1/9)^n
の一般項はどういった式になりますでしょうか。

補足間違えました,一般項anではなく,Snの一般式はどのようになりますでしょうか。

閲覧数:
30
回答数:
1
お礼:
50枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

ao9********さん

2014/8/711:04:22

S[n] = S[n-1] + 12n(1/9)^n

S[k] - S[k-1] = 12k(1/9)^k

n ≧ 2 のとき, k=2,3,…,n を代入して
S[2] - S[1] = 12・2(1/9)^2
S[3] - S[2] = 12・3(1/9)^3

S[n] - S[n-1] = 12n(1/9)^n
全て足し合わせて
S[n] - S[1] = 12 {2・(1/9)^2+3・(1/9)^3+…+n(1/9)^n} …①
(1/9)(S[n] - S[1]) = 12 {2・(1/9)^3+3・(1/9)^4+…+n(1/9)^(n+1)} …②

①-②
(8/9)(S[n] - S[1]) = 12 {2・(1/9)^2+(1/9)^3+(1/9)^4+…+(1/9)^n-n(1/9)^(n+1)}

S[n]-S[1]
= 12・(9/8)・(1/81) {2+(1/9)+(1/9)^2+…+(1/9)^(n-2) -n(1/9)^(n-1)}
= (1/6) {2+(1/9)+(1/9)^2+…+(1/9)^(n-2) -n(1/9)^(n-1)}

(1/9)+(1/9)^2+…+(1/9)^(n-2)
= (1/9){1+(1/9)+…(1/9)^(n-3)}
= (1/9){1-(1/9)^(n-2)}/(8/9)
= {1-(1/9)^(n-2)}/8 だから

(1/6) {2+(1/9)+(1/9)^2+…+(1/9)^(n-2) -n(1/9)^(n-1)}
= (1/6) [2 + {1-(1/9)^(n-2)}/8 - n(1/9)^(n-1)]
= 17/48 - {(1/9)^(n-1)}/48 - (n/6)(1/9)^(n-1)

S[n] = 17/48 - {(1/9)^(n-1)}/48 - (n/6)(1/9)^(n-1) + S[1]

n=1 のとき S[1]=a[1] だから
S[0] が定義されているとき S[1]-S[0]=a[1],S[1]=a[1] から
S[0]=0 のとき S[1] は不定.
S[0]≠0 のとき S[1] は定義されない.

S[0] が定義されていないとに S[1] は不定.

答え
(ⅰ) S[0]=0 または S[0] が定義されていない場合
n=1 のとき S[1] は不定
n≧2 のとき S[n] = 17/48 - {(1/9)^(n-1)}/48 - (n/6)(1/9)^(n-1) + S[1]

(ⅱ) S[0]≠0 の場合 S[1] が定義されないから n≧1 のとき S[n] は定義されない.

質問した人からのコメント

2014/8/12 09:38:44

ありがとうございます。

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる