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比の問題についてです。

nob********さん

2014/9/1600:39:59

比の問題についてです。

図のように、正五角形ABCDEの対角線の交点をそれぞれF、G、H、I、Jとするこのとき、()にあてはまる数を求めよ。
.

(1)∠ABHと∠AHBの大きさの比は、1:()である
(2)線分IHと線分AIの長さの比は、1:()である
(3)五角形FGHIJと五角形ABCDEの面積比は、1:()である
(4)五角形FGHIJと星型AIBJCFDGEHの面積比は、1:()である。

この問題の解説と答えをお願いします!

面積比,星型AIBJCFDGEH,五角形FGHIJ,線分,対角線,底角,五角形ABCDE

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ベストアンサーに選ばれた回答

kur********さん

2014/9/1610:48:30

正五角形の形状については、→http://yosshy.sansu.org/penta_area.htm

1つの外角=360/5=72°
1つの内角=180-72=108°
△ABEはAB=AE,底角の∠ABH=36°
同様に△ABCも∠BAC=36°
ゆえに、△IABはIA=IB
同様にしていくと、△AIHはAI=AH、頂角A=36°、底角∠AHI=72°

(1)∠ABHと∠AHBの大きさの比は、1:(2)である

IH=1,AI=aとすると、BH=a+1
△BAH∽△AHIより、AI:IH=BH:AH
a:1=(a+1):a
これを解いて、a=(1+√5)/2

(2)線分IHと線分AIの長さの比は、1:((1+√5)/2)である

この問題において、IH=1とおいたとき
五角形ABCDEの1辺長=1
五角形FGHIJの1辺長=a+1=(3+√5)/2
面積比は,1²:{(3+√5)/2}²=1:(7+3√5)/2

(3)五角形FGHIJと五角形ABCDEの面積比は、1:(7+3√5)/2である

△IAB:△AIH=IA:IH=(1+√5)/2:1
星型AIBJCFDGEH=五角形FGHIJ+5・△AIH
五角形ABCDE=五角形FGHIJ+5(△IAB+△AIH)から求める。

(4)五角形FGHIJと星型AIBJCFDGEHの面積比は、1:( )である

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