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実数の性質により、「x≥0かつy≥0⇔x+y≥0かつxy≥0」が成り立つと思いますが、これを...

nmo********さん

2014/9/2414:54:43

実数の性質により、「x≥0かつy≥0⇔x+y≥0かつxy≥0」が成り立つと思いますが、これを形式的に一般化した

「x_1,x_2,...,x_n≥0⇔x_1+x_2+...+x_n≥0かつx_1・x_2・...・x_n≥0」
は成り立つのでしょうか?
成り立つならばどのように証明すれば良いかを、成り立たないならばどのように修正したものが同値変形として成り立つのかを教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

goo********さん

2014/9/2415:14:31

成り立たないでしょうね
ですが、基本対称式≧0なら成り立つようです
こんなのがありました
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8558292.html

質問した人からのコメント

2014/9/29 22:26:52

勉強になりました。
ありがとうございました。

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tak********さん

2014/9/2415:29:12

※すみません アンダーバーをどう考えたのか意図が分りませんが
おそらく数字は小文字ととらえていいのだと思います。

成り立たないのではないのでしょうか、
たとえば
x_1, x_2, x_3 をそれぞれ
-2, -1, 20 としましょうか

(左条件)
x_1,x_2,...,x_n≥0 については 成り立ちません

(右条件)
x_1+x_2+...+x_n≥0 について -2-1+20 ≥0 成り立つ
かつ
x_1・x_2・...・x_n≥0 について -2・-1・20 ≥0 成り立つ

よって左条件ならば右条件を満たすが
右条件だけでは、左条件を満たさない場合がある。

時間がないので
次までにどのように修正して同値変形として成り立つのかを考えてみます

why********さん

2014/9/2415:08:16

x_1=1
x_2=-1
x_3=0
なら、
x_1+x_2+x_3≥0かつx_1・x_2・x_3≥0→x_1,x_2,x_3≥0
は成り立っていないじゃないか・・・。

と思いましたが、どうですか。

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