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積分の問題です。 ∫x/(x^2+1)dx 解ける方いませんか?よろしくお願いしますm(__)m

ful********さん

2007/12/922:54:08

積分の問題です。
∫x/(x^2+1)dx
解ける方いませんか?よろしくお願いしますm(__)m

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2

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ベストアンサーに選ばれた回答

編集あり2007/12/923:07:48

ファクターを除いて、分子が分母の微分
(x^2+1)'=2x
になっているので、
∫f'(x)/f(x)dx = log|f(x)|+C
という公式を使って下さい。
知らなければ覚えて下さい。
結果は、
∫x/(x^2+1)dx = (1/2)*log(x^2+1) + C
です。
対数の中身が正なので絶対値は外しました。

--------

置換積分でも出来ます。
その際は u = x^2+1 とする。
(1/2)*∫du/u とできるので、同じ結果になる。

質問した人からのコメント

2007/12/9 23:33:44

降参 とてもわかりやすい解答ありがとうございました。助かりました(>_<)

alcoholicdrunken さんも、丁寧な解答ありがとうございました。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

編集あり2007/12/923:10:37

∫x dx/(x^2 + 1) = (1/2)∫2x dx/(x^2 + 1)
と考えれば、即刻積分でき、
∫x dx/(x^2 + 1) = (1/2)∫2x dx/(x^2 + 1) = (1/2) {ln (x^2 + 1)} + C

慣れていなければ、
x^2 = t
と置けば、
dt/dx = 2x
dx = dt/(2x)
だから、
∫x dx/(x^2 + 1) = ∫dt/{2 (t + 1)} = (1/2)∫dt/(t + 1) = (1/2) (ln |t - 1|) + C
t を戻せば、絶対値の中身は常に正だから、
(1/2) ln |t - 1| + C = (1/2) ln (x^2 + 1) + C
以上より
∫x dx/(x^2 + 1) = (1/2) ln (x^2 + 1) + C

※こんな回答に、BAなんか、絶対に欲しくない!!
coffee_quantumさん の回答の、完全な「モノマネ」だから…
BAは他回答者に差し上げろ!!!!!!!!!!

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