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ジョルダンの補助定理について 複素関数論で出てくる半径Rの円の上半周経路上の複...

hei********さん

2014/11/1615:08:46

ジョルダンの補助定理について
複素関数論で出てくる半径Rの円の上半周経路上の複素積分はR→∞の時に0に収束するというジョルダンの補助定理は、これが4分円の0<θ<π/2の経路でも同じこと

が言えるのでしょうか?

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mar********さん

2014/11/2122:15:25

ジョルダンの補題は、0≦θ≦π で|z|→∞ のとき f(z)→0なら、
I=∫e^(iaz)f(z)dx (a>0)→0 (R→∞)
ということで、何でも0になるというわけではありません。e^(iaz)との積ぐらいなら0に収束という事です。結論からすると0≦θ≦π/2でも同じ事です。
(証明)
0≦θ≦π/2で |z|→∞のとき、f(z)→0 とする。a>0として
I=∫e^(iaz)f(z)dz
を考える。
|I|=|∫e^(iaz)f(z)dz|≦∫|e^(iaz)||f(z)||dz|
z=Re^(iθ)→dz=iRe^(iθ)dθ
|e^(iθ)|=1, |i|=1→→|dz|=Rdθ
z=Rcosθ+iRsinθ, iaz=iaRcosθ-aRsinθ
|e^(iaz)|=|e^(-aRsinθ)| なので
|I|<∫[0→π/2]e^(-aRsinθ)|f(Re^(iθ)|Rdθ
|f(z)|<ε で幾らでも小さくなる。
|I|<εR∫[0→π/2]e^(-aRsinθ)dθ.....①
ところが0≦θ≦π/2の範囲では、sinθ>(1/(π/2))θ=2θ/πなので
①は
|I|<εR∫[0→π/2]e^(-aRsinθ)dθ<εR∫[0→π/2]e^(-aR2θ/π)dθ
=εR∫[0→π/2]e^(-2aRθ/π)dθ=-εR(π/2aR){e^(-aR)-1}≦(επ)/(2a)
ε→0 (R→0) で lim[R→∞]|I|=0 となる。

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