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どなたかこの問題を解くヒントをいただけませんか? 全く解き方が思い付かないの...

mar********さん

2007/12/3106:23:42

どなたかこの問題を解くヒントをいただけませんか?
全く解き方が思い付かないので…

『座標平面の点P0,P1,P2をそれぞれ(0,0)(1,0)(0,1)とし、 また3以上の自然数kに対し、点PkをPk-3Pk→=2(Pk-3Pk-1→+Pk-3Pk-2→)を満たすように順に定めていく。
2以上の自然数kに対し、3点Pk-2、Pk-1、Pkを頂点とする三角形の面積をf(x)とおく。
このとき、以下の各問いに答えよ。

(1)f(3)を求めよ。
(2)f(k+1)/f(k)を求めよ。
(3)nを2以上の自然数とする。Σ(上がn、下がk=2)(k)を求めよ。』

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ベストアンサーに選ばれた回答

fil********さん

編集あり2007/12/3111:30:55

ある点から2つのベクトル(x1,y1)(x2,y2)が出ているとき、
その2つのベクトルを2辺とする三角形の面積を表す公式
S=(1/2)×|x1y2-x2y1|
を使うのは予想できますが、その「ある点」をどこに設定するかがポイントです。

(1)は素直に条件式にk=3を代入してベクトルの成分を計算すれば求められます。

(2)では、f(k)とf(k+1)が同時に式に組み込まれているため、ベクトルの始点が
Pk-3のままでは不都合が生じます。(Pk-3が頂点でないため、f(k+1)が表現しにくくなります)
そこで、始点をPk-3からPk-2に変換してみましょう。
そして、Pk-2Pk→を(ak,bk)、Pk-2Pk-1→を(ak-1,bk-1)、Pk-2Pk-3→を(ak-3,bk-3)とおくと、
非常に簡単な式変形だけで値を求めることができます。

(3)は、もはやベクトルの問題ではありません。
(2)の解「f(k+1)/f(k)=(定数)」はある数列の定義そのままです。
その和をとっているわけですから、この問いは非常に単純ですね。
ただし、k=2から始まっていることに注意してください。


いきなり解答に入るのは難しいでしょうから、
まずはf(2)、f(3)、f(4)あたりを実際に求めてみると(f(3)は(1)の答えですが)、
答えの見当がつくかもしれません。

質問した人からのコメント

2008/1/2 07:17:20

成功 丁寧に教えてくださって、ありがとうございます

とても助かりました!

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