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図形についての問題です。解き方教えてください!! 平面上で、鋭角三角形△OABを...

poo********さん

2015/3/2617:37:43

図形についての問題です。解き方教えてください!!

平面上で、鋭角三角形△OABを辺OBに関して折り返して得られる三角形を△OBC、△OBCを辺OCに関して折り返して得られる三角形を△OCD、△OCDを辺OD

に関して折り返して得られる三角形を△ODEとする。
△OABと△OBEの面積比が2:3のとき、sin∠AOBの値を求めよ。

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id_********さん

2015/3/2619:15:04

■平面上で鋭角三角形…

▲OABを辺OBに関して折り返して得られる三角形を▲OBC…

▲OBCを辺OCに関して折り返して得られる三角形を▲OCD…

▲OCDを辺ODに関して折り返して得られる三角形を▲ODE…

▲OABと▲OBEの面積比が2:3のときsin∠AOBは…?

(o≧▽゜)o解法します…

OA=a…
OB=b…
∠AOB=θ…

OE=OC=OA=a…①

∠BOE=∠BOC+∠COD+∠DOE…

つまり…

↑この3つの角は全て∠AOBに等しいから…

∠BOE=3・∠AOB=3θ…②

⊿OABの面積は…

(1/2)OA・OB・sin∠AOB=(1/2)ab・sinθ…

⊿OBEの面積は…

①②を用いて…

(1/2)OB・OE・sin∠BOE=(1/2)ab・sin(3θ)…

よって…

↑この面積比が2:3だから…

(1/2)ab・sinθ:(1/2)ab・sin(3θ)=2:3…

sinθ/sin(3θ)=2/3…
sin(3θ)=(3/2)sinθ…

↑ここで加法定理の公式を適用して…

sin(3θ)=sin(θ+2θ)…

=sinθcos(2θ)+cosθsin(2θ)…

=sinθ(cos^2θ-sin^2θ)+cosθ・2sinθcosθ…

=sinθ(2cos^2θ-1)+2sinθcos^2θ…

=sinθ(2cos^2θ-1+2cos^2θ)…

=sinθ(4cos^2θ-1)…

よって…

sinθ(4cos^2θ-1)=(3/2)sinθ…

θは鋭角なので…

0<sinθ<1…

両辺をsinθで割れますから…

4cos^2θ-1=3/2…
cos^2θ=5/8…

↑ここで…

cos^2θ+sin^2θ=1…
1-sin^2θ=5/8…
sin^2θ=3/8…

0<sinθ<1…

sinθ=√6/4ですね…


(^_-)-☆マキ姫゚゚

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idl********さん

2015/3/2618:10:56

折り返しているから、OA=OC=OE,OB=OD,
∠BOE=3∠AOB。

△OAB=(1/2)*OA*OB*sin∠AOB
△OBE=(1/2)*OB*OE*sin∠BOE=(1/2)*OB*OA*sin(3∠AOB)
面積比が2:3だから((1/2)*OA*OBは共通なので無視して)
sin∠AOB:sin(3∠AOB)=2:3
sin∠AOBをxとすれば、3倍角の公式からsin(3∠AOB)=3x-4x^3
よって、
x:3x-4x^3=2:3
3x=6x-8x^3
8x^3-3x=0
x(8x^2-3)=0
鋭角だから
x=√3/(2√2)=(√6)/4
よって、sin∠AOB=(√6)/4

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