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数学の問題です。 次のような式があります。

nis********さん

2015/7/617:22:32

数学の問題です。
次のような式があります。

∫(0→2π)cosnxdx

答え
n≠0のとき0

n=0のとき2π

どうして

n≠0のとき0

n=0のとき2π

となるのか途中式と言葉で
説明してください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

m_a********さん

2015/7/618:01:34

n≠0のとき
∫(0→2π)cosnxdx=1/n[sinnx](0→2π)
=1/n(0-0)=0

n=0のとき
cosnx=cos0*x=cos0=1

よって
∫(0→2π)cos0xdx =∫(0→2π)1dx
=[x](0→2π)
=(2π-0)=2π

となります。

質問した人からのコメント

2015/7/6 22:45:15

ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

stu********さん

2015/7/618:09:30

nが定義されていませんが、nは整数だと思われるのでそのようにして考えます。

n=0ではcosnx=1
よって(与式)=∫(0→2π)dx=[x](0→2π)=2π

n≠0ではy=cosnxのグラフはy=cosxのグラフを、x方向に1/n倍に縮めたようになります。(実際に書くと分かりやすいです。)
このグラフは0から2πまで、π/nごとにcosnx≧0、cosnx≦0と繰り返します。

y=cosnxの周期は2π/nですね。1周期だけ積分するとy=cosxを1周期だけ(すなわち0→2πにおいて)積分するのと同様に、x軸の上側と下側でそれぞれ囲まれた部分の面積が打ち消しあって0となります。
0→2πにはちょうどcosnxがn周期分あります。

したがってy=cosnxを[0→2π]で積分すると、符号が違うけれど絶対値が等しい面積どうしをn回足しあわせることになります。
結局互いに打ち消しあって0になります。

ごちゃごちゃになり、読みづらくなってしまいましたが、要するにグラフを書けってことです。

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