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代数学の問題です。次の問題を解いてください。 1.次の群Gとその部分集合Hに対し...

dgt********さん

2015/7/1211:27:09

代数学の問題です。次の問題を解いてください。
1.次の群Gとその部分集合Hに対して、HはGの部分群になることを示せ。
(1)G=Z(整数の加法群),H:nの倍数全体の集合(nはあらかじめ固定)
(2)G=

R^×(実数の乗法群),H:正の実数全体の集合
(3)G=C^×(複素数の乗法群),H={z∈C;|z|=1}(絶対値が1の複素数全体の集合)

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ベストアンサーに選ばれた回答

fer********さん

2015/7/1216:25:55

1.
(1)
まず、0=n*0∈H

次に、x, yをHの任意の元とすると
x=na, y=nb(a, b∈Z)と表わされるので
x+y=n(a+b)∈H

また、xをHの任意の元とすると
x=na(a∈Z)と表わされるので
−x=n(−a)∈H

したがって、Hは群Gの部分群です。



(2)
まず、1∈H

次に、x, yをHの任意の元とすると
x>0, y>0だから
xy>0
よって、xy∈H

また、xをHの任意の元とすると
x>0だから
x^(-1)>0
よって、x^(-1)∈H

したがって、Hは群Gの部分群です。



(3)
まず、|1|=1なので
1∈H

次に、x, yをHの任意の元とすると
|x|=|y|=1なので
|xy|=|x||y|=1
よって、xy∈H

また、xをHの任意の元とすると
|x|=1なので
|x^(-1)|=|x|^(-1)=1^(-1)=1
よって、x^(-1)∈H

したがって、Hは群Gの部分群です。

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