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「自作問題5」 問題:x^4+y^4+z^4=17876*1508+6242*6586+14381*673 を満たす整数...

mat********さん

2015/8/621:22:52

「自作問題5」

問題:x^4+y^4+z^4=17876*1508+6242*6586+14381*673 を満たす整数x,y,zの組を一つ求めて下さい。

これは今まで僕が(生まれてから)作ってきた中で一番の難問だと思います。発想力(、計算力(電卓込みで)共)に相当自信がないと厳しいかと思われます(想定解では)。自分で言うのもなんですが、2日で作り、難しくしたわりには、形も左辺は(右辺はまとめちゃうと解いてもらう、という趣旨からズレるので)ここまで綺麗になってくれてよく出来た問題だと思います。では数学に自信のある方は、あまり時間を浪費しすぎないよう注意して、是非挑戦してみて下さい(PCはやめて下さいね←僕はwolfram先生にどうやって整数解を聞くのか分からなかったのでPCで出来るかどうかは確かめられませんでしたが、、、)!!!

補足プロセス、発想のプロセスは必ず書いて下さい(ざっくりでいいので)。また感想なんか書いてくれると尚嬉しいです。

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ベストアンサーに選ばれた回答

aer********さん

2015/8/1023:48:44

x^4+y^4+z^4 = f1*f2+f3*f4+f5*f6 を満たすような多項式たちで
問題文にある数値を与えるものでそれっぽいものを推測せよ
という問題として 受け取りました

[x,y,z] = [81,76,34]
4y^4+z^4 = (2y^2+z^2+2yz)(2y^2+z^2-2yz) = 17876*7540
4x^4+y^4 = (2x^2+y^2+2xy)(2x^2+y^2-2xy) = 33210*6586
4z^4+x^4 = (2z^2+x^2+2zx)(2z^2+x^2-2zx) = 14381*3365
を見つけました

桁数的に それぞれ2次式だろう
出題意図的に それなりに対称的な式だろう
などの推測からいろいろ試してみただけで
理論的に何かをしたような所は特にないです

  • aer********さん

    2015/8/1023:50:29

    正直な裏話をすると
    17876 - 76^2 を試した所 12100 を得たのが決定的でした
    すなわちこの項は y^2 + (y+z)^2 と推測されました

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質問した人からのコメント

2015/8/12 15:46:46

、、、お見事です。4日目にして想定解が出て来ましたね。やっぱり貴方には敵いませんでしたか、、、。12100を見て偶々と思わずにそれに気付くとは流石です。またよろしくお願いします。ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

osy********さん

2015/8/723:07:04

答えだけは出ましたがいいアイデアが浮かびません。
17876*1508+6242*6586+14381*673=77745233
これを因数分解しようと思いとりあえず17だけは見つけました。

4乗した数を17で割った余りは0,1,4,13,16なので
x、y、zのどれかは17の倍数であることがわかります。

また77745233を5で割った余りは3
4乗した数を5で割った余りは0,1なので
x、y、zは5の倍数ではないことがわかります

77745233を9で割った余りは2
4乗した数を9で割った余りは0,1,4,7なので
x、y、zはを9で割った余りは0,1,1か0,4,7のどちらか
つまりx,y,zのどれかは9の倍数

77745233<94^4

以上を考慮して
ひとつの数を17,34,51,68として試していく
85は5の倍数なので除外

残りの2つの数についてはどちらかが9の倍数でどちらも5の倍数でないことを利用すれば、試す数字はかなり少なくなる。

これで求めた答えが
81,76,34

右辺を考慮するアイデアはありますが結果にむすびついていません。

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