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\(^o^)/テイラー&ホイーラー「一般相対性理論入門 ブラックホール探査」(EBH)を...

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ID非公開さん

2016/1/2414:16:22

\(^o^)/テイラー&ホイーラー「一般相対性理論入門 ブラックホール探査」(EBH)を読んだことのある人に質問です。

「シュヴァルツシルト半径上の重力」について
kothimaro55さんが
~~~~
固有時間で考えれば、a356badgerさんのニュートン力学の結果と同じ結果が得られます。わたしが、ここまで言っても、ホイラーの本に固執するなんて、バカとしか言いようがありません。
~~~~
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1215453033...

とおっしゃるので、EBHではどのように扱われているのか探してみました(^_-)-☆。


EBHの p.120 に、シュヴァルツシルト半径の外側にダイソン球みたいな球殻を建築して、その球殻上に(ブラックホールの重力に抗して)停止している観測者が初速度0で物体を落とした時、その観測者が測定する物体の初期加速度の計算をしている練習問題がありました。

p.120 "9.球殻上の重力加速度"
「球殻r=r_0上でロボットが道具をうっかり落としてしまった。初速度は0である。ロボットが測定する道具の初期加速度はいくらか。

<中略>

r=r_0で評価し、簡単な式

g_shell=(M/r^2)・(1-2M/r_0)^(-1/2) (3.53)

を導出せよ

<中略>

以下の極端な場合どうなるか。
(1)r_0が2Mに近づく。」


私からの質問は以下の2つです。

(1)r=r_0で評価しているのに(3.53)式にはrが残っています。誤植でしょうか?
つまり、正しい(3.53)式は

g_shell=(M/r_0^2)・(1-2M/r_0)^(-1/2)

でしょうか?


(2)g_shellのlim(r_0 → 2M+0)での極限(シュヴァルツシルト半径上に停止している観測者によるシュヴァルツシルト半径上の重力加速度)は、やはり無限大ということでしょうか?

補足****

pさん回答ありがとう\(^o^)/

pさんが 2016/1/29 21:27:23 に示された計算の仕方はkothimaro55さんにも納得感が得られるのではないかと思います。

この計算の仕方はEBHの中にありますか?あるいは他の教科書ですか??
でしたら書名とページを教えて下さい。
それともpさんのオリジナルでしょうか?


以下に幾つか誤記だと思われるところがあるのと…

誤?:その4元速度ベクトルvは v=(1/√(1-2M),0,0,0)
正?:その4元速度ベクトルuは u=(1/√(1-2M/r),0,0,0)

誤?:dτ/dt=(1-2M)
正?:dτ/dt=(1-2M/r)


あと、
~~~~
dτ/dt=(1-2M)
が保存量であることを思い出せ
~~~~
と書かれているのですが

a^α=u^α_;β=-Γ^α_βγu^βu^γ

から

∴a=(0,-M/r^2,0,0)

に至るまでの過程で

dτ/dt=(1-2M)

をどこで使っているのかわからなかったので、詳しく読みたいと思いました(^_-)-☆

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ベストアンサーに選ばれた回答

2016/1/2622:12:08

そうですね。どこかの本に書かれているから、ということで、書かれている内容を吟味せずにそのまま信じてしまうのもどうか、と思いますが…

重力が無限大になると言うと、普通は、曲率特異点(Kretschmann scalarの発散する点)ですよね。ところが、シュヴァルツシルト半径上は、何度計算しても曲率特異点になっていません。それについては、ご確認いただいているでしょうか?

ところで、私が間違っていると言うなら、私の計算のどこが間違っているのかを具体的に指摘して頂ければ良かったのですが(笑)

私は、テイラー&ホイーラーの本は読んでいないのですが、たぶん、この本では「時間」をシュヴァルツシルト半径上に設定しているのではないかと思います。もしそうであれば、重力加速度は無限大に発散しそうです。実際、そのような計算をした結果、無限大になりました。

しかし、私の当初の計算では、時間をブラックホールから遠く離れた観測者の位置に設定し、重力のゼロの数値を得ました。その後、共変性を保つために、時間をシュヴァルツシルト半径上で自由落下する物体の固有時に改め、計算をやり直し、ほぼ、ニュートン力学で導かれる重力と、ほぼ等しい重力値を得ることができました。↓

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1215427318...

ですから、この場合は、どの立場から(時間をどこに設定するのか、などの)現象を見るのかによって、答えが違ってきます。解釈の違いで外見上の答えが違ってくるということです。また、当然のことながら、同じシュヴァルツシルト解であっても、座標系を変えれば、違った答えも出てくるはずです。ですから、どの結果が正しく、どの結果が誤りであるということは断定できないのです。一般相対論では、このように視点の置き所によって、解釈の違いがでてくることは往々にしてあることです。

しかし、個人的には、好みの問題も有るかも知れませんが、私は固有時で考えた、ニュートン力学と同じ結果に、なぜか魅力を感じます。

別に、天才ホーキング、ホイーラー、ペンローズを否定している訳ではなく、飲み込みの悪い方ですから、読んだことをそのまま信じることが出来ず、持ち前のバカな頭で考えて計算してみないと納得できない性分ですので、お気を悪くなさらないで頂きたいと願います。

最後に、permutationさんと、captainさんには本当に感謝しています。ありがとうございました。

  • 2016/1/2706:54:06

    permutationさん、「ってわけで消えろ!」は酷いじゃないですか!私が眠りについていたのを起こしたのは誰ですか?↓一度起こされれば、そう簡単に眠れるものではありません。

    http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1015475918...

    自分が都合の良い時だけ呼び出しておいて、都合が悪くなったら、「消えろ!」は、余りにも身勝手です。あなたは、それでも皆さんから一目置かれる「カテマス」ですか?今、この場所に私が登場したのも、指名されているからです。

    私は、テイラー&ホイーラーの本を批判しているのではなく、その本の読み方のことを言っているのです。一つの本だけに固執するのではなく、「もっと広く物事を捉えるようにしたらどうか」ということです。

    私は、他人の揚げ足を取ることは好まないので、この辺で止めておきますが、permutationさんは宇宙論など科学に対しかなり誤った知識をお持ちのようです。

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質問した人からのコメント

2016/1/31 04:16:41

BAはEBHを読んでいないのに回答しに来ちゃった特別ゲスト55番さんに!\(^o^)/
今度は読んでから回答してね(^_-)-☆
あと、pさん流の計算は「重力」ハートル著 ピアソンエデュケーションp.401に詳しく書かれていました。(pさんが教えてくれないので自力で探しました(-.-;) )4元加速度のノルムをとって得た無限大という値については、p.243ボックス12.2で再検討してます

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ベストアンサー以外の回答

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編集あり2016/1/3019:09:10

色々考えたが、論争に終止符を打つには基本から数式を示すしか手段がないと思うので、ここに書いておく。参考にして欲しい。その数式の導出は…

ある質点が半径r上に静止しているとすれば、その4元速度ベクトルvは

v=(1/√(1-2M),0,0,0)

となる。空間成分が0であり

dτ/dt=(1-2M)

が保存量であることを思い出せ

ここで4元加速度ベクトルを測地線方程式から計算する

a^α=u^α_;β=-Γ^α_βγu^βu^γ

;は共変微分、Γはクリストッフェル記号だ。ここで、uにはt成分しかなく、シュワルツシルト計量g_αβ成分は時間に独立だから、結局

a^r=-Γ^r_tt(u^t)^2
=-M/r^2

∴a=(0,-M/r^2,0,0)

さて質点にかかる重力加速度の大きさAは

√(|a・a|)=√(|g_αβa^αa^β|)
=(M/r^2)/√(1-2M/r)

となる。事象面上(r=2M)で重力加速度の大きさは無限大となる。これは如何なる質点もブラックホール内部で静止できない事を意味する

【補足】

1-2M/rが正しい。後静止している場合の時間差で考えた方が分かりやすくて早いね。失礼した

ideasさん

2016/1/2814:37:54

ID非公開さん、その節はお世話になりました。
久しぶりに知恵袋覗いたんですけどなんか面白いお話をされてますね。
私もEBHは手元にあるんです。。

>(2)g_shellのlim(r_0 → 2M+0)での極限(シュヴァルツシルト半径上に停止している観測者によるシュヴァルツシルト半径上の重力加速度)は、やはり無限大ということでしょうか?

換算円周r=2Mでの球殻速度は光速です。
r=2Mに留まることは出来ないのに「シュヴァルツシルト半径上に停止している観測者によるシュヴァルツシルト半径上の重力加速度」ってなんなんでしょうね。

lim(r_0 → 2M+0)での極限でr_0に停止する観測者にr=2Mまでの半径距離は無限大、重力加速度も無限大…。

dr_shell=dr/√(1-2M/r) …(2.12)

dr_shell/dt_shell=-√((2M/r-2M/r_0)/(1-2M/r_0)) …(3.47)

それでもr=2Mの球殻速度は光速に収斂する…。

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cap********さん

2016/1/2415:09:36

(1) その問題の正しい答は、おっしゃるとおり、
g_shell=(M/r_0^2)・(1-2M/r_0)^(-1/2)
でしょうね。

しかし、これは「誤植」ということではなく、最終的な答の一歩手前の式を載せているのだと想像します。この式の元になる式3.52には、定数であるr_0と変数であるrの両方が含まれています。読者が式3.52から式3.53への変形が理解し易いように、まず、変数rを残した形を載せたのであって、このrにr_0を代入すれば最終的な答はすぐに得られるからでしょう。


(2) は、無限大になると考えます。

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