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因数分解なんですが、ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)の解答&解説お願いしますm(__)m

roc********さん

2008/3/2813:35:25

因数分解なんですが、ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)の解答&解説お願いしますm(__)m

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yuu********さん

2008/3/2813:49:43

まず、ぜーーんぶ展開します。
a2b-ab2+b2c-bc2+ac2+a2c(2は2乗の意味)
この式をa、b、cの順に注目して、aの指数が大きい順番に整理すると、
a2b-a2c+ac2-ab2+b2c-bc2
=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)

ここで、b2-c2=(b+c)(b-c)と因数分解できますので、上式は
=a2(b-c)-a(b+c)(b-c)+bc(b-c)
となり、(b-c)がすべての項に共通します。なので、前に出して・・・

(b-c){a2-a(b+c)+bc}・・・☆

さて、a2-a(b+c)+bcですが、aの2次式とみなして因数分解をしようとすると、
かけてbc、足して-(b+c)になる組み合わせは-bと-cしかありませんので、
a2-a(b+c)+bc=(a-b)(a-c)となります。

したがって、☆の式は
(b-c)(a-b)(a-c)となります。

質問した人からのコメント

2008/3/28 15:53:32

降参 理解しました!!
みなさん解説ありがとうございましたm(__)m

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eni********さん

2008/3/2814:06:25

まず、
それぞれの項を計算して、(例えば、ab×(a-b)というようにです)
a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+c^2a-ca^2
とします。

次に、
aについてまとめます(aの次数順に並べることだと思ってください)
すると
aの2乗の項の係数は、a^2bのb、-ca^2の-c
aの1乗の項の係数は、-ab^2の-b^2、+c^2aの-c^2
aの0乗の項(つまり定数項)は、+b^2c、-bc^2
となり、実際に並べると
(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+(b^2c-bc^2)
となり、最後の項の共通因数bcをくくりだし、
(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+bc(b-c)
とします。
(b^2-c^2)は因数分解できるので(b+c)(b-c)と考え
(b-c)a^2-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)
となります。

そして、
共通因数(b-c)をくくりだして
(b-c){a^2-(b+c)a+bc}
とします

最後に
a^2-(b+c)a+bcの部分を因数分解して
(a-b)(a-c)と考え、
(b-c)(a-b)(a-c)となります。

このままでもよいのですが
サイクリックの順に並べ
(a-b)(b-c)(-c+a)
(-c+a)の-1をくくりだし
-(a-b)(b-c)(c-a)

これでいいかと思います
拙文すいません

cor********さん

2008/3/2814:02:53

ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) ←各項を展開
=a2b-ab2+b2c-bc2+ac2-a2c ←a2でくくる
=a2(b-c)-ab2+b2c-bc2+ac2 ←a,bcでくくれそうだからくくってしまう
=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c) ←(b2-c2)は(b+c)(b-c)に因数分解できるので
=a2(b-c)-a(b+c)(b-c)+bc(b-c) ←ややこしいので各項に共通の(b-c)をBと書き替えてみる
=a2B-aB(b+c)+bcB ←Bでくくる
=B{a2-a(b+c)+bc} ←中かっこ内は(x+y)(x-y)の展開とおなじ形になっていることに注目
=B(a-b)(a+b) ←Bをもとの(b-c)に書き戻す
=(a+b)(a-b)(b-c) //

b1f********さん

2008/3/2813:42:57

(与式) = a2(b-c) - a(b2-c2) + bc(b-c)

= (b-c) {a2 -a(b+c) +bc}

= (b-c)(a-b)(a-c)


a2はaの2乗の意です。

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