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次の問題を解ける方、解答・解説をお願いいたします。

mar********さん

2016/4/2422:53:41

次の問題を解ける方、解答・解説をお願いいたします。

図1は質量密度がρで半径がRおよび長さがLの円柱A(中心軸をOとする)から半径4R/5で長さがLの円柱B(中心軸をO'とする)をくりぬいた物体Cの、中心軸OとO'に垂直な断面図である。この物体Cは水平な粗い板の上に置かれている。円柱AとBはそれぞれの円柱の中心軸OとO'が互いに平行で、この断面図上の点Pで内接している。このときP,OおよびO'は物体Cと板との接点Qから伸びた垂線上にある。

次に、図2のように円柱の中心軸O及びO'と板の傾斜方向を垂直に保ったまま板をゆっくりと水平からθだけ傾けたところ、この円柱は板の上で滑ることなくゆっくりと傾き、図に示す点Q'で板と接して静止した。

このとき物体Cの重心Gに働く重力の作用線が物体Cと板との接点Q'を通り、接点Q'の回りの力のモーメントの和が0となって、つり合いが維持されている。この状況について、重力加速度の大きさg,円周率πとして次の各問に答えなさい。

(1)板が水平ときは、物体Cの重心Gは図1のように接点Qからの垂線上にある。重心Gと円柱Aの中心軸Oとの距離を求めなさい。

(2)板を角度θだけ傾けたとき、物体Cが板から受ける垂直抗力の大きさを求めなさい。

(3)板を角度θだけ傾けたとき、物体Cと板の間の摩擦力の大きさを求めなさい。

(4)板を角度θだけ傾けたとき、OとO'を結ぶ線は鉛直から角度αだけ傾いている。sinαを求めなさい。

(5)さらに板の水平から傾き角θをゆっくり増大させると、ある角度θ'で重心Gに働く重力の作用線が接点Q'を通らなくなる。このとき、接点Q'の回りの力のモーメントの和はゼロにならなくなり、円柱は静止せずに転がり始める。sinθ'を求めなさい。

円柱,中心軸,モーメント,接点Q',中心軸O,mg OG sin,重心

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ken********さん

2016/4/2500:46:42

(1)
図1の点Oを原点として、Q→O の向きにx軸をとります。
円柱Aの重心(点O)のx座標:Xa=0
円柱Bの重心(点O')のx座標:Xb=Rー(4/5)R=R/5
物体Cの重心(点G)のx座標:Xc=?

また、各質量は、
円柱Aの質量:Ma=πρLR^2
円柱Bの質量:Mb=πρL(4R/5)^2=(16/25)πρLR^2
物体Cの質量:Mc=MaーMb=(9/25)πρLR^2

物体Cと円柱Bを合体させると円柱Aになるので、
重心の合成公式より、
Xa=(MbXb+McXc)/(Mb+Mc)
0=[(16/25)πρLR^2 ・(R/5)+(9/25)πρLR^2 ・Xc] /(πρLR^2)
(16/25)(R/5)+(9/25)Xc=0
Xc=ー(16/45)R
∴ OG=(16/45)R

(2)
物体Cに働く力は、
重力:mg (鉛直下向き)
垂直抗力:N (斜面に垂直上向き)
静止摩擦力:F (斜面に沿って上向き)
の3力であり、これらがつり合っているので、
斜面に垂直方向のつり合いより、
N=mgcosθ

(3)
斜面に平行方向のつり合いより、
F=mgsinθ

(4)
点Oのまわりの力のモーメントのつり合いより、
FR=mg OG sinα
mgRsinθ=mg(16/45)Rsinα
sinα=(45/16)sinθ

(5)
(4)の結果が成り立たなくなると、モーメントのつり合いが崩れ、
物体Cは回転を始めます。
sinα ≦ 1
なので、
1=(45/16)sinθ'
sinθ'=16/45
この角θ' を超えると、物体Cは回転を始めます。

質問した人からのコメント

2016/4/25 09:47:32

有難うございます。助かりました。(5)は先に回転するのか滑り出すのか悩んでます。(2)⑶の抗力と垂直抗力のなす角が摩擦係数なので、この時摩擦力は最大静止摩擦力になった状態なんでしょうか?ご教授お願いできましたら、お願いいたします。

勉強になりました。

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