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相対性理論と光速度不変の原理 貴方の http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa...

mpc********さん

2017/1/415:13:05

相対性理論と光速度不変の原理
貴方の
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1216874635...
での回答で

ーーーーー
アインシュタインの相対性理論は「相対性原理」が成り立つということを柱にしています。光速度不変の原理は補足的な原理です。いろんな不思議な結果は「相対性原理」が成り立つとしたことによって出てくるものです。
ーーーーー
とありますが、
ローレンツ変換式を導くにあたって、
相対性原理は使われなかったと思いますが、いかがでしょうか?
使われたのは「光速度不変原理」だけだと思いますが・・・

相対性原理,光速度,アインシュタイン,相対性理論,光速度不変原理,C-Vcos,ローレンツ収縮

この質問は、htm********さんに回答をリクエストしました。

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htm********さん

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2017/1/519:39:47

アインシュタインの2つの原理がどういうものであるかというところですでに躓いておられるのではないでしょうか。

1905年の論文の前書きに書いてある文章を引用します。(内山龍雄訳、岩波文庫版p.14)
・どんな座標系でも、それを基準に取った時、ニュートンの力学の方程式が成り立つ場合(このような座標系は、現在では慣性系と呼ばれている)、そのような座標系のどれから眺めても、電気力学の法則および光学の法則はまったく同じである
・光は真空中を、光源の運動状態に無関係な一つの定まった速さcを持って伝播する

2つ目の原理は多くの本で内容が違っていると思います。というか、この内容の文章が載っている本はほとんどないというのが現状です。アインシュタインの論文に即した考察、記述を誰もやっていないということになります。

「相対性原理」を出発点にして物理法則を記述するための枠組みを考えた理論なので「相対性理論」と呼ばれているのです。相対性原理を使わずに変換式が出てくるのであれば「相対性理論」と呼ぶことはありません。

ぜひ1905年の論文を読んでください。岩波文庫で600円です。
(出版当時は400円でした。私が学生の頃、こんな本は手に入りませんでした。湯川秀樹監修のアインシュタイン選集が出ていましたが高すぎて手が出ませんでした)。

アインシュタインは「§2.長さと時間の相対性」で時計合わせの議論をしています。相対性原理を満たすという空間の性質に整合するものとして時計を合わせています。§3では§2で使った関係式を基にして微分方程式を作り変換式を求めています。§3の最後に、求めた式のチェックをしています。それは光の伝播の表現がどちらの系でも同じになるはずだということの確認です。
式でいえば
x^2+y^2+z^2=(ct)^2
x’^2+y'^2+z'^2=(ct')^2
がともに成り立つということです。どちらの系でも光は球面波で進むとしています。光が波であるという取り扱いは光速度不変の原理の中で「光の速さが光源の運動状態によらない」とされていることから出てくるものです。

パウリはアインシュタインが微分方程式を使った部分を省いています。代わりに一次変換であることと2つの球面波の式から変換則を導いています。アインシュタインの導き方と等価な導き方はパウリのものだけだと思います。他の求め方はローレンツの理論を滑り込ませています。

ローレンツの式はエーテルの存在を前提にしています。長さが縮む、時間が伸びるというのは変換式を求めるときの最初に置かれている仮定です。同じような変換式が得られたとしても意味が同じであるとは限りません。

アインシュタインの座標変換の式は多くの本に載っています。

慣性系が等速度vで運動しているとします。
静止系の座標をx、y、z、t、慣性系の座標をx’、y’、z’、t’とします。
vの方向にx軸、x’軸をとります。
位置と時間は絡み合います。時間座標だけの変換とか位置座標だけの変換とかを考えることはできません。座標の対応付けは光を信号として送ることによって行われています。信号の存在を無視して「~見ると・・・」ということはありません。「見える」というのは信号が送られてきたときだけです。信号を送るときには必ず、位置と時間がセットで問題になります。

x’=γ(x-βω)
y’=y
z’=z
ω’=γ(ω-βx)

ω=ct、ω’=ct’
β=v/c、γ=1/√(1-β^2)

保存則・・・x’^2-ω’^2=x^2-ω^2

この式を見てもらうとxとωが対称になっています。時間ωについて何かの性質が式から導き出されたとします。同じことはxについても言えるはずだということになります。時間が伸びるという解釈が可能であるのであれば長さも長くなるはずだということになります。ローレンツがこの式と同じ式を導いたというのであればローレンツの理論は整合性を満たしていない(矛盾を含んでいる)ということになります。その矛盾の出どころはエーテルの存在を前提にしたというところだと思います。

①x'=0、⇒ω’^2=ω^2-x^2、⇒ω^2>ω'^2
②ω’=0、⇒x’^2=x^2-ω^2、⇒x^2>x'^2
③x'=ut’、⇒x=wt、w=(u+v)/(1+uv/c^2)

①②③は式を変形しているだけです。解釈は入っていません。

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質問した人からのコメント

2017/1/9 16:30:50

いろいろな資料や考え、多くの裏話、ありがとうございました。
半分くらいわかりました。
いろいろ書かれている文章、今後も眺めてみます。

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nag********さん

2017/1/510:58:47

mpcsp079ことドモリユーチューバーで会社に黙ってアルバイトしてる天銀さん。

会社の同僚があなたをチクってくれたらいいですね。

>相対性原理は使われなかったと思いますが、いかがでしょうか?

詳しく

cat********さん

2017/1/506:09:33

V㎞/秒で移動すると、空間と時間の座標が次の「ローレンツ変換」のとおり変化します。
①x’=(x-Vt)/√(1-V^2/C^2)
②y’= y
③z’= z
④t’= (t-Vx/C^2) / √(1-V^2/C^2)

高速移動する物質は、「動き難く」なり、また「ローレンツ収縮」します。
物質は、光速に近づくほど動かし難くなります。したがって、高速移動する時計は遅れます。

次に「ローレンツ収縮」です。V㎞/秒で移動すると、物質は横方向へ√(1-V^2/C^2)倍収縮します。これを「ローレンツ収縮」と言います。電子は、原子核の周りを高速で回転し、その遠心力と原子核に引き付けられる電磁力の釣り合う一定距離を保っています。原子が高速移動すると、電子は回転し難くなり遠心力は弱まり電子は原子核の電磁気力に引き付けられ、原子自体が横方向へローレンツ収縮します。

この様に、V慣性系では、物質である定規が√(1-V^2/C^2)倍「ローレンツ収縮」する為、距離は逆に1/√(1-V^2/C^2)倍長く測定されます。また、その間に観測者自身がVt㎞移動しているので、その分距離は短く測定されます。上下左右方向(縦方向)には変化はありません。従って、これを方程式で表わすと
①x’=(x-Vt)/√(1-V^2/C^2)
②y’=y
③z’=z
です。


光の座標を便宜上平面で、P(x,y,z)=(Ct*cosθ,Ct*sinθ,0)とします。光は、原点Oを発してt秒後にPの位置に到達します。光が移動した時間はt秒です。光の移動した距離は、√(x^2,y^2,z^2)=√{(Ct*cosθ)^2+(Ct*sinθ)^2+0^2}=Ct㎞です。従って、静止者が見た光の速度は、Ct㎞÷t秒=C㎞/秒です。
今度は、V㎞/秒で移動する観測者Aが同じ光を見ると、その速度は幾らと観測されるか、時間と空間の座標の変換式①②③⑤を使って計算します。
V慣性系で光の進んだ距離√(x’^2+y’^2+z’^2)=√{((t-Vx/C^2) / √(1-V^2/C^2))^2+( Ct*sinθ)^2+0^2}=(C-Vcosθ)t/√(1-V^2/C^2)㎞

光速度が不変となるためには、
光の移動時間⑦t’=(C-Vcosθ)t/C√(1-V^2/C^2)
でなければなりません。これで
V慣性系における光の速度=(C-Vcosθ)t/√(1-V^2/C^2)㎞÷(C-Vcosθ)t/C√(1-V^2/C^2)=C㎞/秒
と片道でも光速度不変となります。

光のX軸の座標x=Ct*cosθなので、cosθ=x/Ctです。これを⑦に代入すると
⑦t’=(C-Vcosθ)t/C√(1-V^2/C^2)= (C-Vx/Ct)t/C√(1-V^2/C^2)=④ (t-Vx/C^2) / √(1-V^2/C^2)
です。まとめると
①x’=(x-Vt)/√(1-V^2/C^2)
②y’=y
③z’=z
④t’= (t-Vx/C^2) / √(1-V^2/C^2)
と「ローレンツ変換」となります。

詳細は、下記のホームページを参照下さい。
http://www.geocities.jp/labyrinth125064/rorenntuhennkannnosinnnoimi...

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