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ばね定数kのばねの左端を固定し、右端ひ質量mのおもりをつけてなめらかな水平面上...

chi********さん

2017/1/1823:17:53

ばね定数kのばねの左端を固定し、右端ひ質量mのおもりをつけてなめらかな水平面上に置く。このばね振り子には速度に比例する空気の抵抗力−rdx/dtと強制力F(t)がはたらいている。自然長からの伸びをx(t)として、以下

の質問お願いします。
1.F(t)=f(fは定数)の一般解をもとめよ
2.F(t)=fe^−t(fは定数)の一般解をもとめよ

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lac********さん

2017/1/2522:54:56

mx” = -kx –rx’ + F(t)
mx”+rx’+kx = F(t)
表示が簡単になるように、
x”+2γx’+ωo^2x = F(t)/m
とする。 γ=r/2m, ωo=√(k/m)である。
[元の記号に戻すのはご自分で。]

1.
F(t)=f
x”+2γx’+ωo^2x = f/m
特解xp = f/(mωo^2) = f/k
斉次解xh:
x”+2γx’+ωo^2x = 0
x = e^(ωt)とおく。
ω^2+2γω+ωo^2 = 0
ω= [-γ±√(γ^2-ωo^2)]

xh(t) = e^(-γt){Ae^[√(γ^2-ωo^2)]t+Be^[-√(γ^2-ωo^2)]t}
一般解x = xp + xh
x(t) = e^(-γt){Ae^[√(γ^2-ωo^2)]t+Be^[-√(γ^2-ωo^2)]t} + f/k

[
γ^2-ωo^2 < 0ならば、(これが期待される解でしょう)
x(t) = e^(-γt){Acos[√(ωo^2-γ^2)]t+Bsin[√(ωo^2-γ^2)]t} + f/k

γ^2 –ωo^2 = 0ならば、
x(t) = (At + B)e^(-γt) + f/k
]


2.
F(t) = fe^(-t)
x”+2γx'+ωo^2x = (f/m)e^(-t)

特解xp:
x = Ae^(-t)とおき、上式に代入する。
Ae^(-t)- 2γAe^(-t)+ωo^2Ae^(-t) = (f/m)e^(-t)
(1-2γ+ωo^2)A = (f/m)
∴ A = f/[m(1-2γ+ωo^2)]
xp(t) = {f/[m(1-2γ+ωo^2)]}e^(-t)

斉次解は同じなので、一般解は、
x(t) = e^(-γt){Ae^[√(γ^2-ωo^2)]t+Be^[-√(γ^2-ωo^2)]t}
+ {f/[m(1-2γ+ωo^2)]}e^(-t)

[
γ^2-ωo^2 < 0ならば、
x(t) = e^(-γt){Acos[√(ωo^2-γ^2)]t+Bsin[√(ωo^2-γ^2)]t}
+ {f/[m(1-2γ+ωo^2)]}e^(-t)

γ^2 –ωo^2 = 0ならば、
x(t) = (At + B)e^(-γt)
+ {f/[m(1-2γ+ωo^2)]}e^(-t)
]

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