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数学 自然対数の ln50の計算を教えて下さい 対数表がない場合でお願い致します ...

tic********さん

2017/2/1514:42:16

数学
自然対数の ln50の計算を教えて下さい
対数表がない場合でお願い致します
対数表があれば、ln5+ln10でよいかと
思うのですが・・

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回答数:
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mie********さん

2017/2/1515:30:54

常用対数に変換して

ln 50 = log 50 / log e
= ( log 100 - log 2 ) / log e
= ( 2 - log 2 ) / log e

ここから先は log 2 , log e などの
数値を覚えているかという問題。

log 2 = 0.3010
log e = 0.4343

を覚えていれば

( 2 - log 2 ) / log e
= ( 2 - 0.3010 ) / 0.4343
= 3.912

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質問した人からのコメント

2017/2/19 22:44:53

ありがとうございます。
他の方もありがとうございました。

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jjs********さん

2017/2/1611:18:21

テーラー展開の式
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3・・

e^4≒2.718^3≒54.576

ln50=ln{e^4(50/e^4)}=lne^4+ln(50/e^4)
=4-ln(e^4/50)≒4-ln(1.09)

ln(1.09)≒0.09-0.09^2/2
__≒0.09-0.004≒0.09

ln50≒4-0.09=3.91・・・答え

参考:関数電卓では__3.9120・・・___です
計算精度は必要に応じて調整して下さい

pro********さん

2017/2/1516:25:39

一般に, |x|<1 に対し
ln((1+x)/(1-x)) = 2Σ[n=0;∞] (1/(2n+1))・x^(2n+1)
であるので,これを使うと
ln(50)
= 5ln(2) + 2ln(5/4)
= 10Σ[n=0;∞](1/(2n+1))・(1/3)^(2n+1) + 4Σ[n=0;∞](1/(2n+1))・(1/9)^(2n+1)
となる.
これを適当なところで打ち切って近似することを考える.

ln(50) - {10Σ[n=0;N](1/(2n+1))・(1/3)^(2n+1)
+ 4Σ[n=0;N](1/(2n+1))・(1/9)^(2n+1)}
を大雑把に評価すると,0より大きく 1/((2N+3)・9^N) より小さいことが
分かる.

なので,例えばN=1で打ち切れば
10・((1/3)+(1/3)^4) + 4・((1/3)^2+(1/3)^7)
< ln(50)
< {10・((1/3)+(1/3)^4) + 4・((1/9) + (1/3)・(1/9)^3} + (1/45)
より,
3.90306... < ln(50) < 3.92528...
という評価が得られる.

Nの値を大きくすればより良い評価が得られる.
例えば,N=5とすれば
3.9120224... < ln(50) < 3.9120237...
となり,ln(50)の小数点以下第5位までが求められる.

set********さん

2017/2/1514:52:05

対数表なしでは求められないのでは??

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