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体膨張率が線膨張率の3倍になるというのが直感的に理解できません。計算してそう...

sak********さん

2017/3/2020:02:34

体膨張率が線膨張率の3倍になるというのが直感的に理解できません。計算してそうなるというのはわかるんですが直感的にはどうも…
なんか3乗になりそうじゃないですか?
どうやって理解して

ます?

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ベストアンサーに選ばれた回答

mar********さん

2017/3/2108:09:36

線膨張率を r (<<1)として,まず2次元で考えます.縦,横の長さが a, b の長方形の縦だけが膨張して (1+r)a になるとすると,面積の増分は ra・b.横だけが膨張する場合の面積の増分も同様に a・rb.両者の和は 2rab なので,面積の増分の割合は 2r.

実際には縦と横が同時に膨張するので,面積の増分は ra・b + a・rb + ra・rb なのですが,この最後の r^2 の項は r<<1 のときはその前の r^1 の項に比べて無視できます.よって面積の増分の割合は 2r で o.k.

3次元の場合の体積の膨張についても同様に考えることができて,体積の増分の割合は 3r であることがわかります.

質問した人からのコメント

2017/3/22 11:45:37

たくさんの回答ありがとうございます。
どうやら僕の勘違いの原因は膨張率を1とか2とかあり得ない大きさで考えていたことです。本来無視できる存在が無視できなくなっていました。
それに気付くきっかけになったのでベストアンサーに。
わかってしまって読めば皆さんの説明完璧ですね。むしろなぜそれで気付かったのかと言うくらい。

ベストアンサー以外の回答

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2017/3/2113:19:48

変化っていうのは微小変化なら勾配に比例する。
べきの場合、x^nの勾配は(x^n)' = n x^(n-1)だから、n倍が出てくる。

y=x^nとして率に直せば

Δy/y = (x^n)' Δx/(x^n) = n x^(n-1) Δx/(x^n) = n (Δx/x)

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fried_turnipさん

2017/3/2110:04:55

>3乗になりそうじゃないですか?
膨張率が次のように定義されていれば質問者さんのイメージ通りです。
a=1+ΔL/L
b=1+ΔV/V=(1+ΔL/L)³=a³

しかし、膨張率は次のように定義されています。
α=ΔL/L=a-1
β=ΔV/V=b-1=a³-1=(α+1)³-1=α³+3α²+3α≒3α
∵ α<<1

これは膨張率の定義の問題なので是非受け入れてください。

多くの物質の1K当たりの熱膨張率の範囲
前者の定義:1.0000002<a<1.0002
後者の定義:0.2×10⁻⁶<α<200×10⁻⁶

前者の定義では膨張率の有効桁数が無駄に大きくなるので、
後者の定義の方が扱い易いです。

bor********さん

2017/3/2105:23:47

理屈としては3乗だし、直感的にも3乗。
その3乗を近似計算したら、3倍に近くなるだけの話だと理解すればいいんじゃない?

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