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数学の質問です。

masaki0403ldさん

2017/3/2101:00:33

数学の質問です。

高校2年生で学習する弧度法では、一周を2πとして扱いました。なぜ一周がπとして扱われなかったのでしょうか。πを扱っても矛盾自体は生じないと思うのですが...

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ベストアンサーに選ばれた回答

2017/3/2112:09:49

弧度法というのは、円の弦の長さによって角度をあらわそうとするものですよね。
角度という扱いにくいものを、円の弧の長さに置き換えたというのは、凄いアイデアだと思います。
この時の基準として、直径ではなく半径1を使った。
それは、三角関数と関係を持たせるためだと思います。

直径を1としてしまうと、三角関数を円に当てはめた時に、
三角形の斜辺に、いちいち1/2を付けなければ整合しなくなります。
ちなみに、弧度法は、1718年。
ロジャー・コーツ(Roger Cotes)のアイデアによるものです。

三角関数の起源とも言える、ギリシャのヒッパルコスが定義したchordというものは、今の角度の半分に相当するものを基準にした数値になっています。
これなら、全体をπにする考えに近いですよ。

ただし、これは弧の長さではなくて、二等辺三角形の辺の長さを使っている。
この発想は、角度をある場所の高さであらわそうという考えに基づいていて、いたって自然な発想から出てきます。

今の弧度法による角度をθで表すなら、
chord(θ)=2sin(θ/2)
と定義されます。
つまり、今で言うところの2πではなくて、πを基準にしている。
chordは、二等辺三角形の辺の長さに着目していたので、全体が円である必要はなく、半円を全体として扱えば、それで済んでしまっていたのだと思います。

三角法は、sinがはじめに普及して、その後cos,tanも使われるようになります。
弧度法が考案されたときには、cosもtanも使われている。

これらのお互いの関係を整合させるのに、
円という発想で考えるということが、とても都合よく。
さらに、その基準として半径1を採用するというのが、もっとも自然だったのだと思います。

ベストアンサー以外の回答

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takuren123さん

2017/3/2102:22:46

半径を1の円を想像してみてください。
円周は半径×2×円周率(π)
で2πとなります。
このようにするとある扇型(カットピザみたいな)の円周を求めたりするときに、
その角度をπとすると
π×r(半径)で求めることができ、
色々まとめやすくなるようです。

2017/3/2101:53:01

最初にπの定義を円周/直径としてしまったから。πの定義を円周/半径としても問題は生じないが今さら変更する意味はない。

電流の向きと電子の流れの向きが逆向き、というのに比べれば大したことない。

bluedflowerさん

2017/3/2101:32:02

単位円の円周の長さが2πだからかと.
最も自然な定義だと思います.

s19697さん

2017/3/2101:04:01

円周が直径×円周率だからだと思います

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