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曲線y=x^2について、

chiptodale3141592さん

2017/3/2108:00:16

曲線y=x^2について、

a≦x≦bの範囲にあるこの曲線の長さを求めよ。

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2017/3/2108:41:08

chiptodale3141592さん

y´=2x

L=∫[a,b]√1+y´²dx=∫[a,b]√1+4x²dx=2∫[a,b]√(x²+1/4)dx

公式 ∫√(x²+A) dx =1/2{x√(x²+A)+Alog(x+√x²+A)}+C

=[x√(x²+1/4)+1/4log(x+√x²+1/4)][a,b]

=b√(b²+1/4)+1/4log(b+√b²+1/4)-a√(a²+1/4)-1/4log(a+√a²+1/4)

=b√(b²+1/4)-a√(a²+1/4)+1/4log(2b+√1+4b²)/(2a+√1+4a²)

= b√(b²+1/4)-a√(a²+1/4)+1/4log{√(1+4b²)+2b}{√(1+4a²)-2a}

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質問した人からのコメント

2017/3/22 11:54:16

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2017/3/2112:08:52

y=x^2、y'=2x
L=∫[x=a~b]√{1+(y')^2}dx=∫[x=a~b]√(1+4x^2)dx
双曲線函数の性質:cosh^2(t)ーsinh^2(t)=1 から x=(1/2)*sinh(t) と置くと、

dx=(1/2)*cosh(t)*dt
sinh(t)=2x
cosh(t)=√{1+sinh^2(t)}=√(1+4x^2)>0
2x=sinh(t)={e^tーe^(-t)}/2
e^(2t)ー4x*e^tー1=0
e^t=2x+√(1+4x^2)>0
t=log{2x+√(1+4x^2)}

故、

∫√(1+4x^2)dx
=(1/2)∫cosh(h)*|cosh(h)|dt
=(1/2)∫cosh^2(h)dt
=(1/4)∫cosh(2h)+1dt
=(1/4)*{(1/2)*sinh(2t)+t}+C
=(1/4)*{sinh(t)*cosh(t)+t}+C
=(1/4)*{2x√(1+4x^2)+log{2x+√(1+4x^2)}}+C

従って、

L=∫[x=a~b]√(1+4x^2)dx
=(1/4)*[2x√(1+4x^2)+log{2x+√(1+4x^2)}]_{x=a~b}
=(1/2)*{b√(1+4b^2)ーa√(1+4a^2)}+(1/4)*log{{2b+√(1+4b^2)}/{2a+√(1+4a^2)}}

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