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∫[0→∞](1/x^2)log(1+x^2)dx

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schnittkejpさん

2017/4/120:48:18

∫[0→∞](1/x^2)log(1+x^2)dx

を複素積分で求めてください。


もちろん普通に不定積分をして

∫(1/x^2)log(1+x^2)dx
=∫(-1/x)'log(1+x^2) dx
=-(1/x)log(1+x^2)+∫(1/x)(log(1+x^2))'dx
=-(1/x)log(1+x^2)+∫2/(1+x^2) dx
=-(1/x)log(1+x^2)+2arctan(x)


定積分
2arctan(x)|x=0→∞


また、ロピタルの定理より
(log(1+x^2))'=2x/(1+x^2)

(x)'=1
だから


lim[x→∞](1/x)log(1+x^2)=0

lim[x→0](1/x)log(1+x^2)=0

よって
積分値は、π


とすれば求まります。

複素積分で
∫[C](1/z^2)log(1+z^2)dz

C:C1+C2+C3+C4

C1:実数軸-R→-ε :z=x (-R≦x≦-ε)
C2:微小半円右回り-ε→ε :z=εe^(iθ) (π≧θ≧0)
C3:実数軸ε→R:z=x (ε≦x≦R)
C4:上半円R→-R :z=Re^(iθ) (0≦θ≦R)

でやりました。

f(z)=(1/z^2)log(1+z^2)
として
f(z)は、Cで正則だから
∫[C]f(z)dz=0

R→∞で
∫[C1+C3]f(z)dz=2∫[0→∞](1/x^2)log(1+x^2)dx

∫[C4]f(z)dz=0


ε→0で
∫[C2]f(z)dz=-πiRes(f,0)
となると思います。

しかし、Res(f,0)=0
になってしまって、答えが合いませんでした。

どこにミスがありますか?

∫[C2]f(z)dz=-2π
になれば辻褄が合います。

補足訂正
C4
z=Re^(iθ) (0≦θ≦π)

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anon_g1さん

編集あり2017/4/400:07:36

log(1+x)=x - x^2/2 + x^3/3 - ...
だから log(1+x^2)/x^2 の x=0 は除去可能特異点。

log(z) の切断を実軸の非正部分とすれば
log(1+z^2) の切断は t を1以上の実数として
z = t e^(πi/2) と z = t e^(-πi/2)
に入る。
質問の計算は、この切断(集積特異点)を完全に無視しているので合わない。

∫[0→∞](1/x^2)log(1+x^2)dx = (1/2)∫[-∞→∞](1/x^2)log(1+x^2)dx
として、
∫[-∞→∞](1/x^2)log(1+x^2)dx
= ∫[+0+i→+0+i∞](1/z^2)log(1+z^2)dx- ∫[-0+i→-0+i∞](1/z^2)log(1+z^2)dx
(第1項:z=+0+ti、第2項:z=-0+ti、t:1→∞ とおく)
= ∫[1→∞](1/(ti)^2)(log(1+(0+ti)^2)-log(1+(-0+ti)^2))(idt)
(切断を挟んだlogの引き算から2πiがでる)
=2π∫[1→∞](1/t^2)dt
= 2π[-1/t]_1^∞
= 2π

だから ∫[0→∞](1/x^2)log(1+x^2)dx = 2π/2 = π

急いで書いて書き損じたところを修正。
logの展開の4項目の符号を負に。
切断の左右の線積分の上限を適切な表記に。
そのほかにも修正を入れました。

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質問した人からのコメント

2017/4/8 06:09:27

ありがとうございました。

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