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「単振動の運動方程式は

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ID非公開さん

2017/4/306:21:20

「単振動の運動方程式は

md^2x(t)/dt^2 = -kxである。
x(t)に関して微分方程式を解くと
x(t)= A sin (ωt + α)
になる。
ここで角周波数ωについてω^2 = k/m がなりたつ。
これはk/m=1ならそうなるが。」という問題の解答なのですが、

md^2x(t)/dt^2 = -kxを
x(t)に関して微分方程式を解くと
x(t)= A sin (ωt + α)になるまでの過程の計算と角周波数ωについてω^2 = k/m が成り立つ理由(もし計算過程などがありましたら教えて頂きたいです。)をわかりやすく教えて頂きたいと思います。
どうかよろしくお願い致します。

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mar********さん

2017/4/322:42:30

解の形を仮定しないで解く方法を紹介します.

運動方程式
m x'' = -kx

ω^2 = k/m (ω>0)
とおくと
x'' = -ω^2 x.

両辺にx'をかけて変形すると
x'x'' = -ω^2 x'x,
(1/2){(x')^2}' = -(1/2)ω^2(x^2)'.
積分すると
(x')^2 = -ω^2 x^2 + C^2.(C^2は積分定数でC≧0とします)
これより
x' = ±√(-ω^2 x^2 + C^2) = ±C√{1 - (ωx/C)^2}.
変数を分離すると
dx/√{1 - (ωx/C)^2} = ±C dt.__(1)

(1)の左辺で
sinθ = ωx/C
とおくと,
cosθdθ = ωdx/C.
また
√{1 - (ωx/C)^2} = √{1 - (sinθ)^2} = |cosθ|.

よって(1)の左辺の積分は
(C/ω)∫cosθdθ/|cosθ|
= ±(C/ω)∫dθ
= ±(C/ω)θ + D.(Dは積分定数)
変数をθからxに戻すと
= ±(C/ω)arcsin(ωx/C) + D.__(2)

(1)の右辺の積分は ±Ct なので(積分定数は左辺のDに吸収),
±(C/ω)arcsin(ωx/C) + D = ±Ct.(複合は同順ではない)
これより
arcsin(ωx/C) = ±ωt + E,(積分定数おきなおし)
ωx/C = sin(±ωt + E),
x = A sin(ωt + α).(積分定数おきなおし)

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

mpc********さん

2017/4/307:24:47

md^2x(t)/dt^2 = -kx

x=Ae^(at)
と仮定すると、

ma^2Ae^(at)=-kAe^(at)
ma^2=-k
a=√(-k/m)
=±i√(k/m)
=±iω
よって、C,Dを任意の複素数として、
x=Ce^(iωt)+De^(-iωt)
xが実数とすれば
DはCの共役だから、
x=Ce^(iωt)+C共役e^(-iωt)
=Ecos(ωt+θ)
Eは任意の実数でθはCの偏角で任意

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