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[0,∞)で連続的微分可能、かつ単調減少な関数fに対して x→∞のとき有限の値に収束...

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ID非公開さん

2017/4/917:34:37

[0,∞)で連続的微分可能、かつ単調減少な関数fに対して
x→∞のとき有限の値に収束すれば、df/dxはx→∞のとき0に収束する。

は、正しいのでしょうか?

それとも反例があるのでしょうか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

prob_spareさん

2017/4/1008:57:45

x=n+r (n:非負整数, 0≦r<1) に対し,
・ 0≦r<2^(−(n+1)) のとき g(x) = −2^(n+1)・r
・ 2^(−(n+1))≦r<2^(−n) のとき g(x) = 2^(n+1)・r − 2
・ 2^(−n)≦r<1 のとき g(x) = 0
によって [0,∞)上関数 g を定めると,
g は [0,∞)上で連続かつ非正である. 従って,
f(x) = ∫[0,x] g(y) dy (x∈[0,∞))
によって [0,∞)上関数 f を定めると,
f は [0,∞)で連続的微分可能かつ(広義)単調減少である.
そして,
・lim[x→∞] f(x) = −Σ[n=0;∞] 2^(−(n+1)) = −1
・gの定義より, f'(x) (=g(x)) は x→∞ での極限値をもたない
ので,このfが反例になる.

簡単のためにfが広義単調減少である場合を述べたが,
gを少し修正すれば,fが狭義単調減少のバージョンも作れる.

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質問した人からのコメント

2017/4/10 22:23:13

皆様、回答大変ありがとうございます。

反例の作り方が参考になりましたこちらの回答者様をベストアンサーとさせていただきます。

ベストアンサー以外の回答

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tasogarejiさん

2017/4/919:19:05

f(∞)=a とする。
x∈[0,∞)とし、平均値の定理より
f(x+1)-f(x)=1・f'(c) , x<c<x+1

x→∞のとき、
f'(c)=f(x+1)-f(x) → a-a=0

となり、c→∞でもあるから、f'(c)=0 (c→∞)

つまり、単調減少という条件は必要はない。

2017/4/919:06:57

たぶんg=df/dx視点でみると反例を見つけやすいんじゃないかと思います。どっちでも同じなので単調減少という条件は単調増大に換えます。

[0,∞)上の非負値連続関数gで∫_[0,∞]g(x)dxが有限、かつg→0(x→∞)とならないものをみつけよ。

たとえば三角パルスを等間隔に配置して、高さはそのまま幅を1/n^2オーダーで狭くしていったような関数なんかをイメージすればいいです。狭義単調減少にしたいならこれにh(x)=1/(x^2+1)でも足せばいいでしょう。

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2017/4/917:50:35

正しいと思います。

同条件下で、
df/dxがX→∞ のとき、0に収束しないのならば、
X→∞の時に、有限値に終息しない。すなわち、発散するか、振動するという対偶命題を証明します。

ここで、f(x)を三角関数にとれば、収束せずに振動するのは自明。よって、題意は成立する◼


って、とっさにトポロジーで解いちゃったのですが。

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