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微分積分の問題です

rik********さん

2017/4/1123:27:21

微分積分の問題です

詳しい解説お願いします!

微分積分,共有点,放物線,詳しい解説,交点,x座標,y軸

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nij********さん

2017/4/1208:31:25

二つの放物線を、
y=f(x)
=(1/4)x²-2
y=g(x)
=ax²+3
とおくと、
f`(x)=(1/2)x
g`(x)=2ax

y=f(x)とy=g(x)は、
共にy軸に関して対称より、
交点の内x座標が正の点の
x座標をαとすると、
題意より、
f(α)=g(α)
f`(α)・g`(α)==1

(1/4)・α²-2=a・α²+3
α²-8=4a・α²+12......(i)
(1/2)・α・2aα=-1
a・α²=-1..................(ii)

α²-8=-4+12
α²=16
α>0より
α=4
a=-1/16

求める面積Sは、
....α
S=∫{((1/16)x²+3)-((1/4)x²-2)}dx
....-α
....α
=∫(-1/16)(x+α)(x-α)dx
...-α
(1/6)公式より、
S
=-((-5/16)/6)・{4-(-4)}³
=5x8³/96
=80/3





如何でしようか?
αは綺麗な数値ですから、
普通に積分で良かったですね。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kum********さん

2017/4/1208:10:04

(1)

2つの放物線を
y=(1/4)x^2-2=f(x)
y=ax^2+3=g(x)
とおく。

2つの放物線の共有点におけるそれぞれの接線が直交するとき、その共有点のx座標をtとすると、
f'(t)g'(t)=-1
となるから
(1/2)t*2at=-1
at^2=-1
a=-1/t^2

共有点のx座標は、
(1/4)x^2-2=ax^2+3
x^2-8=4ax^2+12
(1-4a)x^2=20
x^2=20/(1-4a)
つまり
t^2=20/(1-4a)
なので

a=-(1-4a)/20
20a=-1+4a
16a=-1
a=-1/16

(2)

共有点のx座標は
x^2=20/(1-4(-1/16))
=20/(1+1/4)
=20/(5/4)
=80/5
=16
x=±4

あとは、y=(1/4)x^2-2とy=-(1/16)x^2+3で囲まれる部分の面積を求めればいい。
2つの交点のx座標は-4と4なので、-4から4まで定積分すればいい。

これくらいは自力でやれるようになりましょう。

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