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p,qを整数とする。p^2+q^2が3で割り切れるならばpとqはともに3で割切れることを示...

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ID非公開さん

2017/4/2011:05:37

p,qを整数とする。p^2+q^2が3で割り切れるならばpとqはともに3で割切れることを示せ。

この解説お願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

era********さん

2017/4/2011:19:02

対偶は「pまたはqが3の倍数でないならば、p^2+q^2は3で割り切れない。」
1)p=3m±1、q=3n±1(m,nは整数)のとき、
p^2+q^2=3(3m^2+3n^2±2m±2n)+2は3の倍数でない。
2)p=3m±1、q=3nのとき
p^2+q^2=3(3m^2±2m+3n^2)+1は3の倍数でない。
3)p=3m、q=3n±1のとき
p^2+q^2=3(3m^2+3n^2±2n)+1は3の倍数でない。
よって証明された。

ベストアンサー以外の回答

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たかひろさん

2017/4/2114:42:36

3の倍数以外は(3m±1)^2=3(3m^2±2m)+1
で3で割って1余る数になるからp^2+q^2が3の倍数にならない。

jjs********さん

2017/4/2114:04:12

以下の「≡」すべてmod_3

p≡__-p^2≡
0_____0
1_____1
2_____1_____p^2もq^2も_0または1


p^2+q^2≡___の表
_________p^2≡
_________0___1
q^2≡0___0___1
____1____1___2

すなわち、p^2+q^2≡0は、p^2≡q^2≡0__のときだけ
これは__p≡q≡0__のときだけ

従がって、p,qは3で割り切れる

das********さん

2017/4/2011:52:14

対偶を取らずにやってみました

整数m,n,a,b (-1≦a≦1,-1≦b≦1)を使うとp,qは
p = 3m+a
q = 3n+b
と表せます。

p^2+q^2
= (3m+a)^2 + (3n+b)^2
= 9m^2 + 6am + a^2 + 9n^2 + 6bn + b^2
= 3(3m^2 + 2am + 3n^2 + 2bn) + a^2 + b^2

となり、これが3で割り切れるなら、a^2 + b^2 も3で割り切れます。

-1≦a≦1,-1≦b≦1 なので、
a=0,b=0 のとき a^2 + b^2 = 0
a=-1,1,b=0 のとき a^2 + b^2 = 1
a=0,b=-1,1 のとき a^2 + b^2 = 1
a=-1,1,b=-1,1 のとき a^2 + b^2 = 2
このうち3で割り切れるのはa=0, b=0のときだけです。

よってp,qは
p = 3m
q = 3n
と表せるため、命題は真になります。

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wan********さん

2017/4/2011:30:22

nを整数とする。n^2は3で割り切れるか3で割ると1余るの2つの事象のみ。
したがって、
p^2+q^2は、3で割り切れる、3で割ると1余る、3で割ると2余る
の3通りが考えられ
3で割り切れるということは、p^2もq^2も3で割り切れることのみが成り立つ。
p^2が3で割り切れるのでpも3で割り切れ、qも同様に3で割り切れる。

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