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二次曲線の問題です

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ID非公開さん

2017/5/1206:06:12

二次曲線の問題です

難しく感じたんですがわかる方解説つきで教えてください!!!

二次曲線,16 m,32 m n x,解説つき,49 t,16 n,問題

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sta********さん

編集あり2017/5/1215:48:14

1)

楕円:x^2/16+y^2/9=1…①

接線:y=mx+n…②

①に②を代入する

x^2/16+(mx+n)^2/9=1

(16 m^2 +9)x^2 + 32 m n x + 16 n^2 − 144=0

接するから判別式 D=0・(D/4=0)

(16mn)^2–(16 m^2 +9)(16 n^2 − 144)=0

16・9n^2–16・144m^2–144・9=0

n^2–16m^2–9=0

n=±√(16m^2+9)

ℓ[1]、ℓ[1]':y=mx±√(16m^2+9)


2)

y=mxと直交する直線はy=–x/m であるから

ℓ[2]、ℓ[2]':y=–x/m±√{(16+9m^2)/m^2}

d[1]:原点からℓ[1]への距離の2倍

だから

d[1]=2√(16m^2+9)/√(m^2+1)

d[2]=2√{16(1/m)^2+9}/√{(1/m)^2+1}=2√(16+9m^2)/√(m^2+1)


3)

d[1]^2+d[2]^2=4{(16m^2+9)/(m^2+1)+(16+9m^2)/(m^2+1)}
=4・25(m^2+1)/(m^2+1)
=100

4)

S=d[1]・d[2]=2√(16m^2+9)/√(m^2+1)・2√(16+9m^2)/√(m^2+1)
=4√{16–7/(m^2+1)}(9+7/(m^2+1)}

t=1/(m^2+1)とする m^2>0より 0<t<1

S=4√(16–7t)(9+7t)=4√f(t)

ここで f(t)=(16–7t)(9+7t)=–49 t^2 + 49 t + 144

f'(t)=–98t+49=0より t=1/2 でSは最大となる

f(1/2)=625/4であるから

max(S)=4√f(1/2)=4√(625/4)=4・25/2=50

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