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0≦θ<2πのとき、次の不等式を解け。

piyoko2001_1228さん

2017/6/1606:25:02

0≦θ<2πのとき、次の不等式を解け。

⑴cos2θ−sinθ≦0
⑵sin2θ+sinθ−cosθ>1/2
⑶sin(θ+π/6)+cos(θ−π/3)<√3
解説お願いします。

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msta94さん

2017/6/1607:45:09

(1)

cos2θ = 1 - 2(sinθ)^2 より、

{1 - 2(sinθ)^2} - sinθ

= -2(sinθ)^2 - sinθ + 1 ≦ 0

2(sinθ)^2 + sinθ - 1 ≧ 0

(2sinθ - 1)(sinθ + 1) ≧ 0 より、

①2sinθ - 1 ≧ 0 かつ、sinθ + 1 ≧ 0 のとき
②2sinθ - 1 ≦ 0 かつ、sinθ + 1 ≦ 0 のとき

それぞれ成り立つ。

①のとき

0 ≦ θ < 2π より、-1 ≦ sinθ ≦ 1 だから、

sinθ ≧ -1 は常に成り立つ。

よって、2sinθ ≧ 1 より、π/6 ≦ θ ≦ (5/6)π

②のとき

sinθ ≦ -1 を満たすのは、θ = (3/2)π のときのみ。

sinθ ≦ 1/2、0 ≦ θ < 2π より、

0 ≦ θ ≦ (π/6)、(5/6)π ≦ θ < 2π

θ = (3/2)π は、(5/6)π ≦ θ < 2π を満たす。

よって、θ = (3/2)π

①②より、

π/6 ≦ θ ≦ (5/6)π、θ = (3/2)π


(2)

sin2θ + sinθ - cosθ > 1/2

sin2θ = 2sinθcosθ より、

2sinθcosθ + sinθ - cosθ - (1/2)

= 2sinθ{cosθ + (1/2)} - {cosθ + (1/2)} > 0 より、

(2sinθ - 1){cosθ + (1/2)}>0

①2sinθ - 1>0 かつ、cosθ + (1/2)>0
②2sinθ - 1<0 かつ、cosθ + (1/2)<0

のとき、それぞれ成り立つ。

①のとき

sinθ > 1/2 より、π/6 < θ < (5/6)π

cosθ > -1/2、0 ≦ θ < 2π より、0 ≦ θ < (2/3)π、(4/3)π < θ < 2π

よって、これらの共通範囲は、π/6 < θ < (2/3)π

②のとき

sinθ < 1/2、0 ≦ θ < 2π より、

0 ≦ θ < π/6、 (5/6)π < θ < 2π

cosθ < -1/2、0 ≦ θ < 2π より、

(2/3)π < θ < (4/3)π

よって、これらの共通範囲は、(5/6)π < θ < (4/3)π

以上より、π/6 < θ < (2/3)π、(5/6)π < θ < (4/3)π



(3)

sin{θ + (π/6)} + cos{θ - (π/3)} < √3

cos{θ - (π/3)}

= cos[(π/2) - {(π/2) - θ + (π/3)}]

= sin{(5/6)π - θ}

= sin[π - {(1/6)π + θ}]

= sin{θ + (1/6)π} より、

sin{θ + (1/6)π} < (√3)/2

θ + (1/6)π = A とおくと、0 ≦ θ < 2π より、

(1/6)π ≦ A < (13/6)π

sinA < (√3)/2、(1/6)π ≦ A < (13/6)π より、

(1/6)π ≦ A < (1/3)π、(2/3)π < A < (13/6)π

よって、

(1/6)π ≦ {θ + (1/6)π} < (1/3)π、(2/3)π < {θ + (1/6)π} < (13/6)π

だから、

0 ≦ θ < (1/6)π、(1/2)π < θ < 2π

質問した人からのコメント

2017/6/16 17:33:31

ありがとうございます!

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