アンケート一覧ページでアンケートを探す

円に内接する三角形の周の長さが最大であるとき、その三角形は正三角形であることを証明してください。 二等辺三角形であることが既に分かっているときは、微分で証明できました。

高校数学2,270閲覧

新機能 AI回答テストを実施中! テスト対象カテゴリ:歴史・悩み相談 ※回答がつかない場合は、画面のリロードをお試しください

ベストアンサー

このベストアンサーは投票で選ばれました

NEW! この回答はいかがでしたか? リアクションしてみよう

その他の回答(1件)

辺の長さをa,b,cとする。半径=1としても一般性を失わない。a=2sinα,b=2sinβ,c=2sinγとおく。またα+β+γ=πとなる。 L=a+b+c =2(sinα+sinβ+sinγ) =2(sinα+sinβ+sin(α+β)) =2(sinα+sinβ+sinαcosβ+sinβcosα) =2((1+cosβ)sinα+sinβcosα+sinβ) =2r(sinαcosX+sinXcosX)+2sinβ ≦2r+2sinβ =2√((1+cosβ)^2+sin^2β)+2sinβ =2√2√(1+cosβ)+2sinβ =2√2√(2cos^2(β/2))+2sinβ =4cos(β/2)+2sinβ =4cos(β/2)+4sin(β/2)cos(β/2) =4cos(β/2)(1+sin(β/2)) β/2=xとおくと f(x)=cosx(1+sinx)とおく。 f'(x)=-sinx(1+sinx)+cos^2x=0 -sinx-sin^2x+1-sin^2x=0 2sin^2x+sinx-1=0 (2sinx-1)(sinx+1)=0 sinx=1/2 ∴x=π/6 ∴β=2x=π/3で最大。