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1/(x^3-x)の不定積分の計算 部分分数にして積分したのですが、1/2{log(x^2-1)}-...

yahhhh536887さん

2017/6/2323:10:50

1/(x^3-x)の不定積分の計算

部分分数にして積分したのですが、1/2{log(x^2-1)}-logx
になりました
答えは1/2{log(1-x^2)}-logxとなっており
一部符号が逆なんですが理由が不明です
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カテゴリマスター

2017/6/2516:53:42

∫1/(x³-x)dx
=∫1/x(x²-1)dx
1/x(x²-1)
=a/x+b/(x-1)+c/(x+1)とします
分子
=a(x²-1)+bx(x+1)+cx(x-1)
係数比較
a+b+c=0
b-c=0
-a=1
これを解いて
a=-1 b=1/2 c=1/2
与式
₌∫{-1/x+(1/2)/(x-1)+(1/2)/(x+1)}dx
=-log|x|+(1/2)log|(x-1)(x+1)|+c
=(1/2)log{|(x-1)(x+1)|/x²}+c
cは積分定数
あなたの答えは||を付ければ正解です。
|x²-1|=|1-x²|です。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2017/6/2400:19:15

1/(x^3-x)
= 1/{(x-1)x(x+1)}
= 1/{2(x-1)} - 1/x + 1/{2(x+1)}

∫ 1/(x^3+x) dx
= (1/2) ∫ 1/(x-1) dx - ∫ 1/x dx + (1/2) ∫ 1/(x+1) dx
= (1/2)log|x-1| - log|x| + (1/2)log|x+1|
= (1/2)log|x^2-1| - log|x|

だと思いますけど…質問文にある答えだと |x|<1 のときしかできないです。

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