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直角三角形の斜辺の長さはそれ以外の辺の長さの和より小さくなることを証明できま...

t34********さん

2017/7/512:21:21

直角三角形の斜辺の長さはそれ以外の辺の長さの和より小さくなることを証明できますか?

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cny********さん

2017/7/512:49:10

直角三角形に関わらず、すべての三角形は、どの辺の長さも、他の2辺の和よりも小さくなります。

ここでは、余弦定理を用いて証明しましょうか。
c^2=a^2+b^2-2ab cos C
0°<C<180° であるが、いずれの値であったとしても、 -1<cos C <1
両辺を -2ab 倍して、
2ab>-2ab cos C >-2ab
-2ab<-2ab cos C <2ab
両辺に a^2+b^2 を足して、
a^2+b^2-2ab<a^2+b^2-2ab cos C<a^2+b^2+2ab
(b-a)^2<c^2<(a+b)^2
この不等式は、明らかに 0 以上の値同士を比較しているので、正の平方根についても、同じ大小関係が成り立つ。
a<b ならば、 b-a<c<a+b
b<a ならば、 a-b<c<a+b

ベストアンサー以外の回答

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ita********さん

2017/7/512:56:25

他の方も説明している通り、直角三角形によらずそれは成り立ちます。
直角三角形の場合は、斜辺をcとすると
a^2 +b^2 =c^2
という三平方の定理が成り立ちます。これを使えば簡単に証明できます。

示したいのは
a+b>c
です。2乗の差をとると
(a+b)^2 -c^2
ここでc^2=a^2 +b^2 なので
(a+b)^2 -(a^2 +b^2)
=2ab >0
です。なので
(a+b)^2 -c^2 >0
(a+b)^2 > c^2
よって
a+b >c
です。

直角三角形でない場合も、余弦定理から証明が出来ます。

chi********さん

2017/7/512:28:03

そもそも一つの辺がほかの二つの和よりも長くなったら三角形ではないのでは?

koi********さん

編集あり2017/7/512:58:23

三平方の定理から導くことも出来ますがそもそも三角形の成立条件にそのことが含まれています。

簡単に証明するとしたら、三角形ABCにおいて辺ACは点A,点Cを結ぶ最短距離の直線なのでそれ以外の軌道、A→B→Cといく道は遠回りになる、といった感じでしょうか。

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