ここから本文です

大学の積分の問題です.

ameba0037さん

2017/7/1020:48:25

大学の積分の問題です.

√{(x-2)/(x-1)}(x>2)の積分が分かりません.
答えは添付しておきます.
回答よろしくお願いします.

補足答えは問12の(2)です.

x-1,x-2,積分,x&gt,t-1,回答,log

閲覧数:
26
回答数:
1
お礼:
100枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

2017/7/1022:02:05

x>2 より
√{(x-2)/(x-1)}=√(x-2)/√(x-1)
√{(x-2)/(x-1)}=√〔1-{1/(x-1)}〕だから、

√{(x-2)/(x-1)}=t とおくと 0<t<1
x=(t²-2)/(t²-1)=1-{1/(t²-1)}
dx={2t/(t²-1)²}dt

よって、置換して部分積分。
∫√{(x-2)/(x-1)}dx
=∫t{2t/(t²-1)²}dt
=t{-1/(t²-1)}-∫{-1/(t²-1)}dt
=-{t/(t²-1)}+∫dt/(t²-1)
=-{t/(t²-1)}+∫dt/{(t-1)(t+1)}
=-{t/(t²-1)}+(1/2)∫〔{1/(t-1)}-{1/(t+1)}〕dx
=-{t/(t²-1)}+(1/2)(log|t-1|-log|t+1|)+C
=-{t/(t²-1)}+(1/2){log(1-t)-log(1+t)}+C
=-{t/(t²-1)}+(1/2)log{(1-t)/(1+t)}+C
=-〔〔√(x-2)/√(x-1)〕/〔{(x-2)/(x-1)}-1〕〕+(1/2)log〔〔1-{√(x-2)/√(x-1)}〕/〔1+{√(x-2)/√(x-1)}〕〕+C
=√{(x-2)(x-1)}+(1/2)log〔{√(x-1)-√(x-2)}/{√(x-1)+√(x-2)}〕+C


※ 0<t<1 を考慮せず、
√{(x-2)(x-1)}+(1/2)log|{√(x-1)-√(x-2)}/{√(x-1)+√(x-2)}|+C
√{(x-2)(x-1)}+(1/2)log|{√(x-2)-√(x-1)}/{√(x-2)+√(x-1)}|+C
と絶対値を付けて答えても正解。

※ 部分積分するとき、積分は計算していません。
上で微分したのを戻しただけ。

この質問は投票によってベストアンサーに選ばれました!

この質問につけられたタグ

タグランキングを見る

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問や知恵ノートは選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。