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1/(x^2-1)の積分って、なぜ(1/2)log((x-1)/(x+1))になるのでしょうか? いえ、(1/...

ondullllさん

2017/7/1318:58:13

1/(x^2-1)の積分って、なぜ(1/2)log((x-1)/(x+1))になるのでしょうか?
いえ、(1/2)〜〜を微分すれば普通にそうなることはわかりますが、積分するとなると苦手で…どうやって逆算したのかわかり

ません。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2017/7/1319:26:47

1/(x^2-1)
= 1/(x-1)(x+1)

これを部分分数分解します
1/(x-1)(x+1) = a/(x-1) + b/(x+1)
と置いて両辺に(x-1)(x+1)を掛けると
1 = a(x+1) + b(x-1)

x=1の時
1 = a(1+1) + b(1-1) = 2a
a = 1/2

x=-1の時
1 = a(-1+1) + b(-1-1) = -2b
b = -1/2

となるので
1/(x-1)(x+1)
= (1/2)・1/(x-1) - (1/2)・1/(x+1)

これを不定積分すると
(1/2)log|x-1| - (1/2)log|x+1| + C
= (1/2)(log|x-1| - log|x+1|) + C
= (1/2)log|(x-1)/(x+1)| + C

となります。

簡単に積分できる式の和や差に変形するのがコツです。

質問した人からのコメント

2017/7/14 08:33:57

ありがとうございました

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

watayans30さん

2017/7/1319:09:03

1/2{1/(x-1)-1/(x+1)}と変形できるから。

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