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n^2≦3^nであることを示せ 解答と解説お願いします!

sai********さん

2017/8/316:15:57

n^2≦3^nであることを示せ
解答と解説お願いします!

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nij********さん

2017/8/316:29:35

3ⁿ≧n²...........(A)

(証明)
n=1のとき
3¹=3
1²=1
3≧1
成立。

n=2のとき
3²=9
2²=4
成立。

n=k(≧2)のとき
成立すると仮定すると、
3^k≧k²

n=k+1のとき
3^(k+1)
=3・3^k
≧3・k²

3k²-(k+1)²
=3k²-(k²+2k+1)
=(k²-2k+1)+(k²-2)
=(k-1)²+(k²-2)
≧0
なぜならば、
(k-1)²≧0
k≧2より、k²-2≧0
よって、
3^(k+1)≧(k+1)²

ゆえに、
(A)は、
すべての自然数nに対して成立する。


(参考)
n≧2のとき、
3ⁿ
=(1+2)ⁿ
=1+nC1・2+nC2・2²+------+nCn・2ⁿ
≧1+2n+2n(n-1)
=2n²+1
>0

3ⁿ≧n²...........(A)

(証明)
n=1のとき
3¹=3
1²=1
3≧1
成立。...

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

wha********さん

2017/8/316:24:19

if n=-1
n^2=1
3^n=1/3
n^2>3^n だよ。

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