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大学数学、代数学の問題です。  以下の問題の解答について、正しいでしょうか?...

kou********さん

2017/8/519:50:09

大学数学、代数学の問題です。 

以下の問題の解答について、正しいでしょうか?間違っている部分があったら教えてくれると嬉しいです。 

・次の事柄は正しいか?正しくない場合は理由を挙

げよ

(i) Z はQ のイデアルである。
(解答)正しくない。理由は1∈Zで、1/3∈Qであるが、1×(1/3)=1/3はZに含まれない。

(ii) {f(x) ∈ Q[x] | deg f(x) = 1} はQ[x] のイデアルである。
(解答)正しくない。{f(x) ∈ Q[x] | deg f(x) = 1}の元であるf(x)=x+1、g(x)=-x+1について、f(x)+g(x)=2より、deg{f(x)+g(x)}=0となる。なので、イデアルの定義を満たさない。

(ⅲ) I, J が環R のイデアルのときI ∩ J はR のイデアルである。
(解答)正しい。a,b∈I∩Jとすると、a,b∈Iかつa,b∈Jより、I,Jは環Rのイデアルより、a+b∈Iかつa+b∈Jとなる。よって、a+b∈I∩Jとなる。また、r∈Rとして、a∈I∩Jとすると、a∈Iかつa∈Jより、I,Jはイデアルなので、ra∈Iかつra∈Jより、ra∈I∩Jとなる。よってイデアルの定義を満たす。 

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ベストアンサーに選ばれた回答

syy********さん

2017/8/608:12:12

正しいと思いますよ

解答も余分な説明がなく良いと思います

質問した人からのコメント

2017/8/6 12:44:34

ありがとうございました!

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