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0≦x≦1において、0≦x^2+2(a-2)x+a≦2 が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。 ...

aethiopicus2836さん

2017/9/3006:17:01

0≦x≦1において、0≦x^2+2(a-2)x+a≦2 が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。

解説をお願いしますm(_ _)m

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jupiter_o5さん

2017/9/3007:10:10

aethiopicus2836さん

指針としては、f(x)=x^2+2(a-2)x+aの
0≦x≦1における最大値Mと最小値mを求めて、
最大値Mが値域の上限以下(M≦2)、
最小値mが値域の加減以上(0≦m)
となるものを求めればよい。

f(x)={x+(a-2)}^2-(a-2)^2+a
.....={x+(a-2)}^2-a^2+5a-4

軸x=2-aと定義域の位置関係で場合分け。

●2-a<0のとき、すなわち2<aのとき
定義域内では単純増加なので、
最小値m=f(0)=a、最大値M=f(1)=3a-3
m=a≧0
M=3a-3≦2より、a≦5/3
a≦5/3が場合分け条件の2<aを満たさないので不適。

●0≦2-a<1/2のとき、すなわち3/2<a≦2のとき
定義域の左半分に軸があるので、
最小値は頂点でm=f(2-a)=-a^2+5a-4
最大値は定義域の上端でM=f(1)=3a-3
m=-a^2+5a-4≧0
⇔a^2-5a+4≦0⇔(a-4)(a-1)≦0より、1≦a≦4
M=3a-3≦2より、a≦5/3

場合分け条件および、m,Mの条件を満たすのは
3/2<a≦5/3・・・ア

●2-a=1/2のとき、すなわちa=3/2のとき
軸は定義域の中央。
最小値は頂点でm=f(2-a)=f(1/2)=5/4
最大値は定義域の両端でM=f(0)=f(1)=3/2
よって、a=3/2は条件を満たす。・・・イ

●1/2<2-a≦1のとき、すなわち1≦a<3/2のとき
軸は定義域の右半分にあるので、
最小値は頂点でm=f(2-a)=-a^2+5a-4
最大値はM=f(0)=a
m=-a^2+5a-4≧0より、1≦a≦4
M=a≦2

場合分け条件および、m,Mの条件を満たすのは
1≦a<3/2・・・ウ

●1<2-aのとき、すなわちa<1のとき
定義域内では単純現象なので
最小値m=f(1)=3a-3、最大値M=f(a)=a
m=3a-3≧0より、a≧1
この時点で場合分け条件のa<1を満たさないので不適

よってア~ウを合成したものが答えで、1≦a≦5/3

質問した人からのコメント

2017/9/30 07:41:03

助かりました!ありがとうございました。

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