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質問です。質量M,半径Rの一様な球が、球の中心から距離rの点にある質量mの粒子に作...

fkw_akr0917さん

2017/10/1001:49:55

質問です。質量M,半径Rの一様な球が、球の中心から距離rの点にある質量mの粒子に作用する重力は、F(r)=-GMm/r^2,(r>R)とF(r)=-GMmr/R^3,(0<r<R)によって与えられる。地球の直径を貫く直線状の穴を作り、質量mの粒子

を穴の入り口から初速0で自由落下させると、粒子は振動する。その振動周期を求めよ。ただし、地球の半径をR=6400km,質量をM=6x10^24kg,万有引力定数をG=6.7x10^-11Nm^2/kg^2とする。お願いします。

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2017/10/1012:22:07

空気抵抗がなく相対論的質量増加もないとして計算します。
F=maよりa=-GMr/R^3 a=d^2r/dt^2=r''として微分方程式を作る。
r'' +GMr/R^3=0と単振動の微分方程式なので、角速度ω=±√(GM/R^3)
周期T=2\pi/ω=2\pi/√(GM/R^3) あとは、数値代入。

地球内では調和振動子、地球外では万有引力の法則となるように決めてくれた心優しい出題者に感謝すべきです。

私なら、少なくとも速度に比例する空気抵抗βvを入れます。

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